微积分学示例

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{3 - \sqrt{x + 5}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 4}{lim_{x \to 4} 3 - \sqrt{x + 5}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 3 - \sqrt{x + 5}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 3 - \sqrt{x + 5}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 3 - \sqrt{x + 5}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} 3 - \sqrt{x + 5}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 3 - \sqrt{x + 5}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 3 - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5}}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{3 - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5}}$

解题步骤 1.1.3.1.3

将极限移入根号内。

$\frac{0}{3 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 5}}$

解题步骤 1.1.3.1.4

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{3 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 5}}$

解题步骤 1.1.3.1.5

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{3 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 5}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 - \sqrt{4 + 5}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

将 $4$ 和 $5$ 相加。

$\frac{0}{3 - \sqrt{9}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{0}{3 - \sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{3 - 3}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{3 - \sqrt{x + 5}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x + 5}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x + 5}]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x + 5}]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x + 5}]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x + 5}]}$

解题步骤 1.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x + 5}]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $3 - \sqrt{x + 5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 5}]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 5}]}$

解题步骤 1.3.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 5}]}$

解题步骤 1.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 5}]$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 5}$ 重写成 ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.8.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.8.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 5$ 。

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解题步骤 1.3.8.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 5$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 5])}$

解题步骤 1.3.8.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])}$

解题步骤 1.3.8.3.3

使用 $x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])}$

解题步骤 1.3.8.4

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]))}$

解题步骤 1.3.8.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [5]))}$

解题步骤 1.3.8.6

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}$

解题步骤 1.3.8.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}$

解题步骤 1.3.8.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}$

解题步骤 1.3.8.9

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}$

解题步骤 1.3.8.10

化简分子。

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解题步骤 1.3.8.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}$

解题步骤 1.3.8.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}$

解题步骤 1.3.8.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}$

解题步骤 1.3.8.12

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - (\frac{1}{2} {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}$

解题步骤 1.3.8.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}$

解题步骤 1.3.8.14

将 $\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - \frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.3.8.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{0 - \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.3.9

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 4} 1 (- (2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 1.5

将 ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x + 5}$ 。

$lim_{x \to 4} 1 (- (2 \sqrt{x + 5}))$

解题步骤 1.6

合并因数。

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解题步骤 1.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 4} 1 (- 2 \sqrt{x + 5})$

解题步骤 1.6.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 4} - 2 \sqrt{x + 5}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5}$

解题步骤 2.2

将极限移入根号内。

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 4} x + 5}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 5}$

解题步骤 2.4

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 4} x + 5}$

解题步骤 3

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 2 \sqrt{4 + 5}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将 $4$ 和 $5$ 相加。

$- 2 \sqrt{9}$

解题步骤 4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- 2 \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 4.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- 2 \cdot 3$

解题步骤 4.4

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- 6$

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