微积分学示例

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} - \frac{2}{x}}{h}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{2}{x + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x}}{h}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{2}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h) x$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{2}{x + h}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{(x + h) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{2}{x}$ 乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{(x + h) x} - \frac{2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(x + h) x$ 的因式。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{x (x + h)} - \frac{2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)}$ 乘以 $\frac{1}{h}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h) h}$

解题步骤 2.2

因为项 $\frac{1}{x}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{(x + h) h}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x - 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

解题步骤 3.1.2.1.2

计算 $2 x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - lim_{h \to 0} 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

解题步骤 3.1.2.1.3

因为项 $2$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 lim_{h \to 0} x + h}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

解题步骤 3.1.2.1.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

解题步骤 3.1.2.1.5

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (x + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (x + 0)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

解题步骤 3.1.2.3

合并 $2 x - 2 (x + 0)$ 中相反的项。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 x}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

解题步骤 3.1.2.3.2

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} x + h \cdot lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 3.1.3.2

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 3.1.3.3

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 3.1.3.4

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.4.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 3.1.3.4.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot 0}$

解题步骤 3.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.5.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{x \cdot 0}$

解题步骤 3.1.3.5.2

将 $x$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.5.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{(x + h) h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x - 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x - 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $2 x - 2 (x + h)$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [2 x] + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]$ 。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x] + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

解题步骤 3.3.3

因为 $2 x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

解题步骤 3.3.4

计算 $\frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

因为 $- 2$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- 2 (x + h)$ 对 $h$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d h} [x + h]$ 。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 \frac{d}{d h} [x + h]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

解题步骤 3.3.4.2

根据加法法则， $x + h$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

解题步骤 3.3.4.3

因为 $x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

解题步骤 3.3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

解题步骤 3.3.4.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

解题步骤 3.3.4.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

解题步骤 3.3.5

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

解题步骤 3.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ 等于 $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ ，其中 $f (h) = x + h$ 且 $g (h) = h$ 。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{(x + h) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{(x + h) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

解题步骤 3.3.8

将 $x + h$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

解题步骤 3.3.9

根据加法法则， $x + h$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}$

解题步骤 3.3.10

因为 $x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

解题步骤 3.3.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d h} [h]$ 相加。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 3.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \cdot 1}$

解题步骤 3.3.13

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h}$

解题步骤 3.3.14

将 $h$ 和 $h$ 相加。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + 2 h}$

解题步骤 3.3.15

重新排序项。

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{2 h + x}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $- 2$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{x} \cdot - 2 lim_{h \to 0} \frac{1}{2 h + x}$

解题步骤 4.2

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

解题步骤 4.3

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

解题步骤 4.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} x}$

解题步骤 4.5

因为项 $2$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}$

解题步骤 4.6

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 lim_{h \to 0} h + x}$

解题步骤 5

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

解题步骤 6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

解题步骤 6.3

化简分母。

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解题步骤 6.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{0 + x}$

解题步骤 6.3.2

将 $0$ 和 $x$ 相加。

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 6.4

乘以 $- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{2}{x}$ 。

$- \frac{2}{x \cdot x}$

解题步骤 6.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2}{x^{1} x}$

解题步骤 6.4.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2}{x^{1} x^{1}}$

解题步骤 6.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2}{x^{1 + 1}}$

解题步骤 6.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2}{x^{2}}$

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