微积分学示例

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.2

因为项 $5$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 lim_{h \to 0} {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.3

使用极限幂法则把 ${(a - h)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.5

计算 $a$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.6

计算 $5 a^{2}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.7

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.1.2.7.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.7.2

合并 $5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.2.7.2.1

将 $a$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 a^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.2.7.2.2

从 $5 a^{2}$ 中减去 $5 a^{2}$ 。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.2

将 ${(a - h)}^{2}$ 重写为 $(a - h) (a - h)$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 ((a - h) (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3

使用 FOIL 方法展开 $(a - h) (a - h)$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

运用分配律。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a (a - h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.2

运用分配律。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.3.3

运用分配律。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.1.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h \cdot h) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4.1.4

通过指数相加将 $h$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 1.3.4.1.4.1

移动 $h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4.1.4.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4.1.6

将 $h^{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4.2

从 $- a h$ 中减去 $h a$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.1

移动 $h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - 1 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.4.2.2

从 $- a h$ 中减去 $a h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.5

根据加法法则， $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.6

计算 $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})]$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

因为 $5$ 对于 $h$ 是常数，所以 $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})$ 对 $h$ 的导数是 $5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.6.2

根据加法法则， $a^{2} - 2 a h + h^{2}$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.6.3

因为 $a^{2}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $a^{2}$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.6.4

因为 $- 2 a$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- 2 a h$ 对 $h$ 的导数是 $- 2 a \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.6.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.6.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.6.8

从 $0$ 中减去 $2 a$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.7

因为 $- 5 a^{2}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- 5 a^{2}$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.8

化简。

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解题步骤 1.3.8.1

运用分配律。

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a) + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.8.2

合并项。

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解题步骤 1.3.8.2.1

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.8.2.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.8.2.3

将 $- 10 a + 10 h$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 1.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{1}$

解题步骤 1.4

用 $- 10 a + 10 h$ 除以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} - 10 a + 10 h$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- lim_{h \to 0} 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

解题步骤 2.2

计算 $10 a$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

解题步骤 2.3

因为项 $10$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 10 a + 10 lim_{h \to 0} h$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- 10 a + 10 \cdot 0$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将 $10$ 乘以 $0$ 。

$- 10 a + 0$

解题步骤 4.2

将 $- 10 a$ 和 $0$ 相加。

$- 10 a$

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