微积分学示例

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \sin (\frac{1}{x + h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 2

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 ${(x + h)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

${(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

${(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 5

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 7

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 8

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 9

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 10

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 11

计算 $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 12

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 12.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 12.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

合并 ${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ 中相反的项。

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解题步骤 13.1.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 13.1.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

解题步骤 13.2

从 $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ 中减去 $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ 。

$0$

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