微积分学示例

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (2 + h) - \ln (2)}{h}$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (\frac{2 + h}{2})}{h}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (\frac{2 + h}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将极限移入对数中。

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} \frac{2 + h}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.1.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\ln (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} 2 + h)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.1.3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.1.4

计算 $2$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (2 + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (2 + 0))}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1

约去公因数。

$\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.3.2.2

重写表达式。

$\frac{\ln (1)}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.2.3.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 2.1.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (\frac{2 + h}{2})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (\frac{2 + h}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (\frac{2 + h}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = \ln (h)$ 且 $g (h) = \frac{2 + h}{2}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{2 + h}{2}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $\frac{2 + h}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\frac{2 + h}{2}} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{2 + h}{2}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{1 \frac{2}{2 + h} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.4

将 $\frac{2}{2 + h}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 + h} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.5

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $\frac{2 + h}{2}$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [2 + h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 + h} (\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [2 + h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.6

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2 + h}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + h)} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.1

约去公因数。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + h)} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.7.2

重写表达式。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.8

根据加法法则， $2 + h$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.9

因为 $2$ 对于 $h$ 是常数，所以 $2$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d h} [h]$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.12

将 $\frac{1}{2 + h}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.13

重新排序项。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 2.3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 2}}{1}$

解题步骤 2.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 2} \cdot 1$

解题步骤 2.5

将 $\frac{1}{h + 2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 2}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

解题步骤 3.2

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

解题步骤 3.3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2}$

解题步骤 3.4

计算 $2$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{1}{0 + 2}$

解题步骤 5

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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