微积分学示例

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x}$

解题步骤 1.2

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x})}^{x}$

解题步骤 2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 2.1

将 ${(\frac{x + 1}{x})}^{x}$ 重写为 $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$

解题步骤 2.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

解题步骤 3

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

解题步骤 4

将 $x \ln (\frac{x + 1}{x})$ 重写为 $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

将极限移入对数中。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.3

计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.3.1.1

约去公因数。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.3.1.2

重写表达式。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.3.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.3.2.2

重写表达式。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.3.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.3.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.3.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.5

计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.5.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.5.2

化简答案。

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解题步骤 5.1.2.5.2.1

用 $1 + 0$ 除以 $1$ 。

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.5.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.2.5.2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 5.1.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x + 1}{x}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.2.3

使用 $\frac{x + 1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x + 1}{x}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.4

将 $\frac{x}{x + 1}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.5

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.6

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.10

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.13

将 $\frac{x}{x + 1}$ 乘以 $\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{(x + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.14

约去公因数。

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解题步骤 5.3.14.1

从 $(x + 1) x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.14.2

约去公因数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.14.3

重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15

化简。

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解题步骤 5.3.15.1

运用分配律。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15.2

运用分配律。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.15.3.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15.3.2

从 $0$ 中减去 $1 \cdot 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15.4

合并项。

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解题步骤 5.3.15.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x^{1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1 + 1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15.4.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15.4.6

将负号移到分数的前面。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15.5

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.3.15.5.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15.5.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.15.5.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 5.3.16

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

解题步骤 5.3.17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

解题步骤 5.3.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x (x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

解题步骤 5.5

合并因数。

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解题步骤 5.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

解题步骤 5.5.2

将 $\frac{1}{x (x + 1)}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

解题步骤 5.5.3

组合 $\frac{1}{x (x + 1)}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x (x + 1)}}$

解题步骤 5.6

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

解题步骤 5.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.6.2.1

约去公因数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

解题步骤 5.6.2.2

重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}}$

解题步骤 6

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

约去公因数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7.1.2

重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7.5

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{1}{1}}$

解题步骤 9.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$e^{1}$

解题步骤 10

化简。

$e$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e$

小数形式：

$2.71828182 \dots$

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