微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1.1

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

约去公因数。

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

重写表达式。

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.3.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

解题步骤 1.1.3.4

将 $\frac{π}{4}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.4.1

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.1.3.5

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.5.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}$

解题步骤 1.1.3.5.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.3

从 $\sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{0}{\frac{0}{2}}$

解题步骤 1.1.3.5.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.5.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 x)}{\sin (x) - \cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $\sin (x) - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.8

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.9

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.9.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 1.3.9.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (x) - - \sin (x)}$

解题步骤 1.3.9.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (x) + 1 \sin (x)}$

解题步骤 1.3.9.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 2

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (2 x)}{\cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- 2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$- 2 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{4}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

解题步骤 2.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}$

解题步骤 2.7

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

解题步骤 3

将 $\frac{π}{4}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{π}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.1.2

约去公因数。

$- 2 \frac{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.1.3

重写表达式。

$- 2 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 \frac{1}{\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 2 \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})}$

解题步骤 4.2.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 2 \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$- 2 \frac{1}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.2.4

以因式分解的形式重写 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.1

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$- 2 \frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.2.4.2

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.2.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.2.1.1

约去公因数。

$- 2 \frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 4.2.4.2.1.2

重写表达式。

$- 2 \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{1}}$

解题步骤 4.2.4.2.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- 2 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 4.4

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 4.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 4.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 4.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.6.4.1

约去公因数。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.4.2

重写表达式。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 4.4.6.5

计算指数。

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.5.2

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4.5.3

重写表达式。

$- \sqrt{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \sqrt{2}$

小数形式：

$- 1.41421356 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例