微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin (22 x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (22 x)}$ 重写为乘积形式。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) \frac{1}{\sin (22 x)}$

解题步骤 1.2

将 $\cos (x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (22 x)}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) \frac{1}{\sin (22 x)}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{\sin (22 x)}$ 转换成 $\csc (22 x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) \csc (22 x)$

解题步骤 2

考虑左极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (x) \csc (22 x)$

解题步骤 3

制作一个表格展示函数 $\cos (x) \csc (22 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $\frac{π}{2}$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cos (x) \csc (22 x) \\ 1.47079632 & 0.12348034 \\ 1.56079632 & 0.04582252 \\ 1.56979632 & 0.0454582 \\ 1.57069632 & 0.04545458 \end{array}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，函数值趋于 $0.045$ 。因此， $\cos (x) \csc (22 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $\frac{π}{2}$ 时的极限为 $0.045$ 。

$0.045$

解题步骤 5

考虑右极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos (x) \csc (22 x)$

解题步骤 6

制作一个表格展示函数 $\cos (x) \csc (22 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $\frac{π}{2}$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cos (x) \csc (22 x) \\ 1.67079632 & 0.12348034 \\ 1.58079632 & 0.04582252 \\ 1.57179632 & 0.0454582 \\ 1.57089632 & 0.04545458 \end{array}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，函数值趋于 $0.045$ 。因此， $\cos (x) \csc (22 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $\frac{π}{2}$ 时的极限为 $0.045$ 。

$0.045$

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