微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} (\cos (π \sin (x))) + \sin (π \cos (x))$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

解题步骤 2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

解题步骤 3

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cos (π lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

解题步骤 4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

解题步骤 5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} π \cos (x))$

解题步骤 6

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (π lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))$

解题步骤 7

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (π \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x))$

解题步骤 8

将 $\frac{π}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (π \sin (\frac{π}{2})) + \sin (π \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x))$

解题步骤 8.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (π \sin (\frac{π}{2})) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\cos (π \cdot 1) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

解题步骤 9.1.2

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\cos (π) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

解题步骤 9.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \cos (0) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

解题步骤 9.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1 + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

解题步骤 9.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

解题步骤 9.1.6

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$- 1 + \sin (π \cdot 0)$

解题步骤 9.1.7

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$- 1 + \sin (0)$

解题步骤 9.1.8

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 1 + 0$

解题步骤 9.2

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$- 1$

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