微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{8 \cos (x)}{\cot (x)}$

解题步骤 1

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\cot (x)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$8 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$8 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

解题步骤 2.1.2.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$8 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$8 \frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

解题步骤 2.1.3.3

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$8 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$8 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$8 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

解题步骤 2.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

解题步骤 2.3.3

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{- \csc^{2} (x)}$

解题步骤 2.4

将两个负数相除得到一个正数。

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\csc^{2} (x)}$

解题步骤 3

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$8 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x)}$

解题步骤 3.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x)}$

解题步骤 3.3

使用极限幂法则把 $\csc^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x))}^{2}}$

解题步骤 3.4

因为余割函数是连续的，将极限符号移至三角函数内。

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

解题步骤 4

将 $\frac{π}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\csc^{2} (\frac{π}{2})}$

解题步骤 5

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$8 \frac{1}{\csc^{2} (\frac{π}{2})}$

解题步骤 5.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

$\csc (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$8 \frac{1}{1^{2}}$

解题步骤 5.2.2

一的任意次幂都为一。

$8 (\frac{1}{1})$

解题步骤 5.3

约去 $1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$8 (\frac{1}{1})$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$8 \cdot 1$

解题步骤 5.4

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8$

微积分学 示例

微积分学示例