微积分学示例

$lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{\sin (x + \frac{π}{4}) - 1}{x - \frac{π}{4}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{x}{4}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{x}{4}} \sin (x + \frac{π}{4}) - 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\frac{x}{4}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{x}{4}} \sin (x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $\frac{x}{4}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

解题步骤 5

计算 $\frac{π}{4}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{x}{4}$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

解题步骤 6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{x}{4}$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $\frac{x}{4}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{π}{4}}$

解题步骤 8

计算 $\frac{π}{4}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{x}{4}$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

解题步骤 9

将 $\frac{x}{4}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{x}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

解题步骤 9.2

将 $\frac{x}{4}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

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解题步骤 10.1.1

将 $\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$

解题步骤 10.1.2

合并。

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{4 (\frac{x}{4} - \frac{π}{4})}$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 \frac{x}{4} + 4 (- \frac{π}{4})}$

解题步骤 10.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 10.3.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1.1

约去公因数。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 \frac{x}{4} + 4 (- \frac{π}{4})}$

解题步骤 10.3.1.2

重写表达式。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 (- \frac{π}{4})}$

解题步骤 10.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.2.1

将 $- \frac{π}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 \frac{- π}{4}}$

解题步骤 10.3.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 \frac{- π}{4}}$

解题步骤 10.3.2.3

重写表达式。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x - π}$

解题步骤 10.4

化简分子。

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解题步骤 10.4.1

从 $4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 10.4.1.1

从 $4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x - π}$

解题步骤 10.4.1.2

从 $4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})) + 4 (- 1 \cdot 1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{x - π}$

解题步骤 10.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1)}{x - π}$

微积分学 示例

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