微积分学示例

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{9 - t} - 3}{t}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t} - 3}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.3

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $9$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.5

计算 $3$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.6

化简项。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{9 + 0} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.6.2

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.6.2.1.1

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.6.2.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.6.2.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.6.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 - 3}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.6.2.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{9 - t} - 3}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t} - 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t} - 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sqrt{9 - t} - 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{9 - t}$ 重写成 ${(9 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [{(9 - t)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = 9 - t$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 - t$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.2.3

使用 $9 - t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.3

根据加法法则， $9 - t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t]$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.4

因为 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $9$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.5

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.9

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.10

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.13

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.15

组合 $\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $- 1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.16

将 $- 1$ 移到 ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- 1 \cdot {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.17

将 $- 1 {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ 重写为 $- {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- 1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3.19

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.5

将 $- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 ${(9 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{9 - t}$ 。

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}} \cdot 1$

解题步骤 1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $- 1$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}}$

解题步骤 2.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 - t}}$

解题步骤 2.3

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t}}$

解题步骤 2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t}}$

解题步骤 2.5

将极限移入根号内。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - t}}$

解题步骤 2.6

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - lim_{t \to 0} t}}$

解题步骤 2.7

计算 $9$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t}}$

解题步骤 2.8

化简项。

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解题步骤 2.8.1

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

解题步骤 2.8.2

化简答案。

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解题步骤 2.8.2.1

化简分母。

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解题步骤 2.8.2.1.1

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}}$

解题步骤 2.8.2.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 2.8.2.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 2.8.2.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 2.8.2.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{3 \cdot 2}$

解题步骤 2.8.2.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{6}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{6}$

小数形式：

$- 0.1\overline{6}$

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