微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{x - \frac{π}{6}}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{x \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}}$

解题步骤 1.2

组合 $x$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{\frac{x \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}}$

解题步骤 1.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{\frac{x \cdot 6 - π}{6}}$

解题步骤 2

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \frac{π}{6}} (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{6})}^{-}} (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ 在 $x$ 从左边趋于 $\frac{π}{6}$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π} \\ 0.42359877 & 0.88956192 \\ 0.51359877 & 0.86851094 \\ 0.52259877 & 0.86627525 \\ 0.52349877 & 0.8660504 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{6}$ 时，函数值趋于 $0.866$ 。因此， $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ 在 $x$ 从左边趋于 $\frac{π}{6}$ 时的极限为 $0.866$ 。

$0.866$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{6})}^{+}} (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ 在 $x$ 从右边趋于 $\frac{π}{6}$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π} \\ 0.62359877 & 0.83960357 \\ 0.53359877 & 0.86351099 \\ 0.52459877 & 0.86577525 \\ 0.52369877 & 0.8660004 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{6}$ 时，函数值趋于 $0.866$ 。因此， $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ 在 $x$ 从右边趋于 $\frac{π}{6}$ 时的极限为 $0.866$ 。

$0.866$

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