微积分学示例

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 x^{2} + 5 x - 2}{6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + 5 x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{3}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 5 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{1}{3}$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 5 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.6

将 $\frac{1}{3}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $\frac{1}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 5 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $\frac{1}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.7.1.1

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.7.1.2.1

从 $3^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.1.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.1.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1^{2}}{3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{1}{3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.1.4

组合 $5$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{5}{3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{5}{3} - 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 + \frac{1 + 5}{3}}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{- 2 + \frac{6}{3}}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.4

用 $6$ 除以 $3$ 。

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.5

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{3}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

解题步骤 1.1.3.2

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

解题步骤 1.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

解题步骤 1.1.3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{1}{3}$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.5

将 $\frac{1}{3}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.5.1

将 $\frac{1}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{3})}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.5.2

将 $\frac{1}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.6.1.1

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{0}{6 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.6.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{6 \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.6.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{6 (\frac{1}{9}) + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.6.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.6.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{0}{3 (2) \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.6.1.4.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{0}{3 \cdot 2 \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.6.1.4.3

约去公因数。

$\frac{0}{3 \cdot 2 \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.6.1.4.4

重写表达式。

$\frac{0}{2 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.6.1.5

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{0}{\frac{2}{3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.6.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{\frac{2}{3} + \frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 1.1.3.6.2

在公分母上合并分子。

$\frac{0}{- 1 + \frac{2 + 1}{3}}$

解题步骤 1.1.3.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{- 1 + \frac{3}{3}}$

解题步骤 1.1.3.6.4

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{0}{- 1 + 1}$

解题步骤 1.1.3.6.5

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 x^{2} + 5 x - 2}{6 x^{2} + x - 1} = lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $3 x^{2} + 5 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 + 0}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

解题步骤 1.3.6

将 $6 x + 5$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $6 x^{2} + x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{6 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.8.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + 1 + 0}$

解题步骤 1.3.11

将 $12 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + 1}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{3}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x + 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{3}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

解题步骤 2.3

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

解题步骤 2.4

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{1}{3}$ 时此极限值为常数。

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{3}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

解题步骤 2.6

因为项 $12$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{12 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

解题步骤 2.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{1}{3}$ 时此极限值为常数。

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{12 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 1}$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{3}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 (\frac{1}{3}) + 5}{12 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 1}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 (\frac{1}{3}) + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2) \frac{1}{3} + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

解题步骤 4.1.1.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

解题步骤 4.1.1.3

重写表达式。

$\frac{2 + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

解题步骤 4.1.2

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$\frac{7}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{7}{3 (4) \frac{1}{3} + 1}$

解题步骤 4.2.1.2

约去公因数。

$\frac{7}{3 \cdot 4 \frac{1}{3} + 1}$

解题步骤 4.2.1.3

重写表达式。

$\frac{7}{4 + 1}$

解题步骤 4.2.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{7}{5}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{7}{5}$

小数形式：

$1.4$

微积分学 示例

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