微积分学示例

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 3 x}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

解题步骤 1.1.2.4

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3^{2} - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

解题步骤 1.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{9 - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

解题步骤 1.1.2.5.1.2

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

解题步骤 1.1.2.5.2

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 9}$

解题步骤 1.1.3.1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 9}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3^{2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{0}{9 - 9}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 9} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

解题步骤 1.3.5

根据加法法则， $x^{2} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{2 x + \frac{d}{d x} [- 9]}$

解题步骤 1.3.7

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{2 x + 0}$

解题步骤 1.3.8

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{2 x}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{x}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 2 x - 3}{lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 2.5

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 3

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 3.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

约去 $2 \cdot 3 - 1 \cdot 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

从 $2 \cdot 3$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- (- 2 \cdot 3) - 1 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.1.2

从 $- 1 \cdot 3$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- (- 2 \cdot 3) - 1 (3)}{3}$

解题步骤 4.1.3

从 $- (- 2 \cdot 3) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- (- 2 \cdot 3 + 3)}{3}$

解题步骤 4.1.4

将 $- (- 2 \cdot 3 + 3)$ 重写为 $- 1 (- 2 \cdot 3 + 3)$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 (- 2 \cdot 3 + 3)}{3}$

解题步骤 4.1.5

从 $- 1 (- 2 \cdot 3 + 3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (- 1 (- 2 + 1))}{3}$

解题步骤 4.1.6

约去公因数。

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解题步骤 4.1.6.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (- 1 (- 2 + 1))}{3 (1)}$

解题步骤 4.1.6.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (- 1 (- 2 + 1))}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 (- 2 + 1)}{1}$

解题步骤 4.1.6.4

用 $- 1 (- 2 + 1)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- 1 (- 2 + 1))$

解题步骤 4.2

将 $- 1 (- 2 + 1)$ 重写为 $- (- 2 + 1)$ 。

$\frac{1}{2} (- (- 2 + 1))$

解题步骤 4.3

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} (- - 1)$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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