微积分学示例

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} - \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}{x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 2 x + 6} - \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 2 x + 6} - lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} - 2 x + 6} - lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.3

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.6

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6} - lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.7

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6} - \sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 2 x - 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.8

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6} - \sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6} - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.10

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6} - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.11

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6} - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.12

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.12.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{3^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6} - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.12.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.12.3

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} - \sqrt{3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.12.4

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} - \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.13

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.13.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.13.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{9 - 2 \cdot 3 + 6} - \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.13.1.2

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{9 - 6 + 6} - \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.13.1.3

从 $9$ 中减去 $6$ 。

$\frac{\sqrt{3 + 6} - \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.13.1.4

将 $3$ 和 $6$ 相加。

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.13.1.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.13.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 - \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.13.1.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3 - \sqrt{9 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.13.1.8

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 - \sqrt{9 + 6 - 1 \cdot 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.13.1.9

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{3 - \sqrt{9 + 6 - 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.13.1.10

将 $9$ 和 $6$ 相加。

$\frac{3 - \sqrt{15 - 6}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.13.1.11

从 $15$ 中减去 $6$ 。

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.13.1.12

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.13.1.13

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.13.1.14

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.2.13.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - 4 x + 3}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 4 x + lim_{x \to 3} 3}$

解题步骤 1.1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 4 x + lim_{x \to 3} 3}$

解题步骤 1.1.3.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 3}$

解题步骤 1.1.3.4

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 3} x + 3}$

解题步骤 1.1.3.5

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.5.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3^{2} - 4 lim_{x \to 3} x + 3}$

解题步骤 1.1.3.5.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3^{2} - 4 \cdot 3 + 3}$

解题步骤 1.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.6.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{9 - 4 \cdot 3 + 3}$

解题步骤 1.1.3.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{9 - 12 + 3}$

解题步骤 1.1.3.6.2

从 $9$ 中减去 $12$ 。

$\frac{0}{- 3 + 3}$

解题步骤 1.1.3.6.3

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} - \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}{x^{2} - 4 x + 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} - \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} - \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sqrt{x^{2} - 2 x + 6} - \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}$ 重写成 ${(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 2 x + 6$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} - 2 x + 6$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 6] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 6] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.2.3

使用 $x^{2} - 2 x + 6$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 6] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.3

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.7

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x - 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x - 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x - 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.10

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x - 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.11

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x - 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x - 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.12

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 6)}^{- \frac{1}{2}} (2 x - 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.13

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 6)}^{- \frac{1}{2}} (2 x - 2 + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.14

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 6)}^{- \frac{1}{2}} (2 x - 2) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} - 2 x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{{(x^{2} - 2 x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x - 2) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.3.16

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 2 x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}$ 重写成 ${(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 2 x - 6$ 。

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解题步骤 1.3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} + 2 x - 6$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 6])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 6])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.3.3

使用 $x^{2} + 2 x - 6$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 6])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.4

根据加法法则， $x^{2} + 2 x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.8

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.9

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.10

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.11

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.12

化简分子。

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解题步骤 1.3.4.12.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.12.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.13

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.14

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 2 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.15

将 $2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 2))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.16

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - (\frac{{(x^{2} + 2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x + 2))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.4.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 2 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) - \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.5

重新排序项。

$lim_{x \to 3} \frac{(2 x - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} - (2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 3]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $x^{2} - 4 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{(2 x - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} - (2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{(2 x - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} - (2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]}$

解题步骤 1.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{(2 x - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} - (2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

解题步骤 1.3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{(2 x - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} - (2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]}$

解题步骤 1.3.8.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{(2 x - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} - (2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [3]}$

解题步骤 1.3.9

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{(2 x - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} - (2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 4 + 0}$

解题步骤 1.3.10

将 $2 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{(2 x - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} - (2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 4}$

解题步骤 1.4

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 1.4.1

将 ${(x^{2} - 2 x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{(2 x - 2) \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} - (2 x + 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 4}$

解题步骤 1.4.2

将 ${(x^{2} + 2 x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{(2 x - 2) \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} - (2 x + 2) \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{2 x - 4}$

解题步骤 1.5

合并因数。

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解题步骤 1.5.1

将 $2 x - 2$ 乘以 $\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 6}}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 x - 2}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} - (2 x + 2) \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{2 x - 4}$

解题步骤 1.5.2

将 $- (2 x + 2)$ 乘以 $\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 x - 2}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} + \frac{- (2 x + 2)}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{2 x - 4}$

解题步骤 1.6

简化。

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解题步骤 1.6.1

约去 $2 x - 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 (x) - 2}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} + \frac{- (2 x + 2)}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{2 x - 4}$

解题步骤 1.6.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 (x) + 2 \cdot - 1}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} + \frac{- (2 x + 2)}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{2 x - 4}$

解题步骤 1.6.1.3

从 $2 (x) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 (x - 1)}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} + \frac{- (2 x + 2)}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{2 x - 4}$

解题步骤 1.6.1.4

约去公因数。

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解题步骤 1.6.1.4.1

从 $2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 6}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 (x - 1)}{2 (\sqrt{x^{2} - 2 x + 6})} + \frac{- (2 x + 2)}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{2 x - 4}$

解题步骤 1.6.1.4.2

约去公因数。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 (x - 1)}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} + \frac{- (2 x + 2)}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{2 x - 4}$

解题步骤 1.6.1.4.3

重写表达式。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} + \frac{- (2 x + 2)}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{2 x - 4}$

解题步骤 1.6.2

约去 $2 x + 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.1

从 $- (2 x + 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} + \frac{2 (- (x + 1))}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{2 x - 4}$

解题步骤 1.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.2.2.1

从 $2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} + \frac{2 (- (x + 1))}{2 (\sqrt{x^{2} + 2 x - 6})}}{2 x - 4}$

解题步骤 1.6.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} + \frac{2 (- (x + 1))}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{2 x - 4}$

解题步骤 1.6.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} + \frac{- (x + 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{2 x - 4}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} + \frac{- (x + 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} + lim_{x \to 3} \frac{- (x + 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} + lim_{x \to 3} \frac{- (x + 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} + lim_{x \to 3} \frac{- (x + 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 2 x + 6}} + lim_{x \to 3} \frac{- (x + 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.6

将极限移入根号内。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} - 2 x + 6}} + lim_{x \to 3} \frac{- (x + 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.7

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 6}} + lim_{x \to 3} \frac{- (x + 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 6}} + lim_{x \to 3} \frac{- (x + 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.9

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 6}} + lim_{x \to 3} \frac{- (x + 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.10

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6}} + lim_{x \to 3} \frac{- (x + 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.11

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6}} + \frac{lim_{x \to 3} - (x + 1)}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.12

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6}} + \frac{- lim_{x \to 3} x + 1}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.13

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6}} + \frac{- (lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1)}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.14

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6}} + \frac{- (lim_{x \to 3} x + 1)}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 2 x - 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.15

将极限移入根号内。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6}} + \frac{- (lim_{x \to 3} x + 1)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 2 x - 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.16

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6}} + \frac{- (lim_{x \to 3} x + 1)}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.17

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6}} + \frac{- (lim_{x \to 3} x + 1)}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.18

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6}} + \frac{- (lim_{x \to 3} x + 1)}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.19

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6}} + \frac{- (lim_{x \to 3} x + 1)}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}}}{lim_{x \to 3} 2 x - 4}$

解题步骤 2.20

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

解题步骤 2.21

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

解题步骤 2.22

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

解题步骤 3

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6}} + \frac{- (lim_{x \to 3} x + 1)}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}}}{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4}$

解题步骤 3.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{3^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 6}} + \frac{- (lim_{x \to 3} x + 1)}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}}}{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4}$

解题步骤 3.3

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6}} + \frac{- (lim_{x \to 3} x + 1)}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}}}{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4}$

解题步骤 3.4

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6}} + \frac{- (3 + 1)}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}}}{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4}$

解题步骤 3.5

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6}} + \frac{- (3 + 1)}{\sqrt{3^{2} + 2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}}}{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4}$

解题步骤 3.6

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6}} + \frac{- (3 + 1)}{\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}}{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4}$

解题步骤 3.7

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6}} + \frac{- (3 + 1)}{\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}}{2 \cdot 3 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$ .

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解题步骤 4.1.1

将 $\frac{\frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6}} + \frac{- (3 + 1)}{\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}}{2 \cdot 3 - 1 \cdot 4}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}} \cdot \frac{\frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6}} + \frac{- (3 + 1)}{\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}}{2 \cdot 3 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.2

合并。

$\frac{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (\frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6}} + \frac{- (3 + 1)}{\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}})}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (2 \cdot 3 - 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6}} + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \frac{- (3 + 1)}{\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (2 \cdot 3) + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 4.3.1

约去 $\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1

从 $\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$ 中分解出因数 $\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} (\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}) \frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6}} + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \frac{- (3 + 1)}{\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (2 \cdot 3) + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.3.1.2

约去公因数。

解题步骤 4.3.1.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (3 - 1 \cdot 1) + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \frac{- (3 + 1)}{\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (2 \cdot 3) + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2} + 6 - 1 \cdot 6} (3 - 1 \cdot 1) + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \frac{- (3 + 1)}{\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (2 \cdot 3) + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.3.3

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2} + 6 - 6} (3 - 1 \cdot 1) + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \frac{- (3 + 1)}{\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (2 \cdot 3) + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2} + 6 - 6} (3 - 1) + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \frac{- (3 + 1)}{\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (2 \cdot 3) + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.3.5

约去 $\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

从 $\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$ 中分解出因数 $\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2} + 6 - 6} (3 - 1) + \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \frac{- (3 + 1)}{\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6}}}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (2 \cdot 3) + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.3.5.2

约去公因数。

解题步骤 4.3.5.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3^{2} + 6 - 6} (3 - 1) + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} (- (3 + 1))}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (2 \cdot 3) + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.3.6

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2} + 6 - 6} (3 - 1) + \sqrt{3^{2} - 6 + 6} (- (3 + 1))}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (2 \cdot 3) + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4

化简分子。

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解题步骤 4.4.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{9 + 6 - 6} (3 - 1) + \sqrt{3^{2} - 6 + 6} (- (3 + 1))}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4.2

将 $9$ 和 $6$ 相加。

$\frac{\sqrt{15 - 6} (3 - 1) + \sqrt{3^{2} - 6 + 6} (- (3 + 1))}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4.3

从 $15$ 中减去 $6$ 。

$\frac{\sqrt{9} (3 - 1) + \sqrt{3^{2} - 6 + 6} (- (3 + 1))}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2}} (3 - 1) + \sqrt{3^{2} - 6 + 6} (- (3 + 1))}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 (3 - 1) + \sqrt{3^{2} - 6 + 6} (- (3 + 1))}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4.6

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{3 \cdot 2 + \sqrt{3^{2} - 6 + 6} (- (3 + 1))}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4.7

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 + \sqrt{3^{2} - 6 + 6} (- (3 + 1))}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{6 + \sqrt{9 - 6 + 6} (- (3 + 1))}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4.9

从 $9$ 中减去 $6$ 。

$\frac{6 + \sqrt{3 + 6} (- (3 + 1))}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4.10

将 $3$ 和 $6$ 相加。

$\frac{6 + \sqrt{9} (- (3 + 1))}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4.11

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{6 + \sqrt{3^{2}} (- (3 + 1))}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4.12

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{6 + 3 (- (3 + 1))}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4.13

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 + 3 (- 1 \cdot 4)}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4.14

乘以 $3 (- 1 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 4.4.14.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{6 + 3 \cdot - 4}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4.14.2

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{6 - 12}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.4.15

从 $6$ 中减去 $12$ 。

$\frac{- 6}{\sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5

化简分母。

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解题步骤 4.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{- 6}{\sqrt{(3^{2} - 2 \cdot 3 + 6) (3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 6}{\sqrt{(9 - 2 \cdot 3 + 6) (3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.3

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6}{\sqrt{(9 - 6 + 6) (3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.4

从 $9$ 中减去 $6$ 。

$\frac{- 6}{\sqrt{(3 + 6) (3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.5

将 $3$ 和 $6$ 相加。

$\frac{- 6}{\sqrt{9 (3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 6}{\sqrt{9 (9 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6}{\sqrt{9 (9 + 6 - 1 \cdot 6)} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.8

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 6}{\sqrt{9 (9 + 6 - 6)} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.9

将 $9$ 和 $6$ 相加。

$\frac{- 6}{\sqrt{9 (15 - 6)} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.10

从 $15$ 中减去 $6$ 。

$\frac{- 6}{\sqrt{9 \cdot 9} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.11

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$\frac{- 6}{\sqrt{81} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.12

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$\frac{- 6}{\sqrt{9^{2}} \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.13

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- 6}{9 \cdot 2 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.14

乘以 $9 \cdot 2 \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.5.14.1

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 6}{18 \cdot 3 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.14.2

将 $18$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6}{54 + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 + 6} \sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.15

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{- 6}{54 + \sqrt{(3^{2} - 2 \cdot 3 + 6) (3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.16

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 6}{54 + \sqrt{(9 - 2 \cdot 3 + 6) (3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.17

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6}{54 + \sqrt{(9 - 6 + 6) (3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.18

从 $9$ 中减去 $6$ 。

$\frac{- 6}{54 + \sqrt{(3 + 6) (3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.19

将 $3$ 和 $6$ 相加。

$\frac{- 6}{54 + \sqrt{9 (3^{2} + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.20

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 6}{54 + \sqrt{9 (9 + 2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.21

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6}{54 + \sqrt{9 (9 + 6 - 1 \cdot 6)} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.22

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 6}{54 + \sqrt{9 (9 + 6 - 6)} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.23

将 $9$ 和 $6$ 相加。

$\frac{- 6}{54 + \sqrt{9 (15 - 6)} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.24

从 $15$ 中减去 $6$ 。

$\frac{- 6}{54 + \sqrt{9 \cdot 9} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.25

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$\frac{- 6}{54 + \sqrt{81} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.26

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$\frac{- 6}{54 + \sqrt{9^{2}} (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.27

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- 6}{54 + 9 (- 1 \cdot 4)}$

解题步骤 4.5.28

乘以 $9 (- 1 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 4.5.28.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 6}{54 + 9 \cdot - 4}$

解题步骤 4.5.28.2

将 $9$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 6}{54 - 36}$

解题步骤 4.5.29

从 $54$ 中减去 $36$ 。

$\frac{- 6}{18}$

解题步骤 4.6

约去 $- 6$ 和 $18$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (- 1)}{18}$

解题步骤 4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 3}$

解题步骤 4.6.2.2

约去公因数。

$\frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 3}$

解题步骤 4.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{3}$

解题步骤 4.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{3}$

小数形式：

$- 0.\overline{3}$

微积分学 示例

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