微积分学示例

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 x^{2} + x - 1}{4 x^{2} - 4 x - 3}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{2}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x - 3}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x - 3}$

解题步骤 3

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x - 3}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x - 3}$

解题步骤 5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{1}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x - 3}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

解题步骤 7

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

解题步骤 9

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

解题步骤 10

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{1}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11

将 $\frac{1}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.2

将 $\frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.3

将 $\frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 11.4

将 $\frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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解题步骤 12.1.1

将 $\frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

解题步骤 12.1.2

合并。

$\frac{2 (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1)}{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.2

运用分配律。

$\frac{2 (6 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.1

约去公因数。

$\frac{2 (6 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.3.2

重写表达式。

$\frac{2 (6 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.4

化简分子。

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解题步骤 12.4.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{12 {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.4.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{12 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.4.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{12 \frac{1}{2^{2}} + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.4.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{12 (\frac{1}{4}) + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.4.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.4.5.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (3) \frac{1}{4} + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.4.5.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 3 \frac{1}{4} + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.4.5.3

重写表达式。

$\frac{3 + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.4.6

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 12.4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 + 1 + 2 \cdot - 1}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.4.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 + 1 - 2}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.4.7

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 - 2}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.4.8

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.5

化简分母。

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解题步骤 12.5.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2}{8 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.5.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{8 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.5.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{8 \frac{1}{2^{2}} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.5.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2}{8 (\frac{1}{4}) + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.5.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.5.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2}{4 (2) \frac{1}{4} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.5.5.2

约去公因数。

$\frac{2}{4 \cdot 2 \frac{1}{4} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.5.5.3

重写表达式。

$\frac{2}{2 + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.5.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.6.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2}{2 + 2 (2 (- 2) \frac{1}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.5.6.2

约去公因数。

$\frac{2}{2 + 2 (2 \cdot - 2 \frac{1}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.5.6.3

重写表达式。

$\frac{2}{2 + 2 \cdot - 2 + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.5.7

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2}{2 - 4 + 2 (- 1 \cdot 3)}$

解题步骤 12.5.8

乘以 $2 (- 1 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 12.5.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{2 - 4 + 2 \cdot - 3}$

解题步骤 12.5.8.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2}{2 - 4 - 6}$

解题步骤 12.5.9

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\frac{2}{- 2 - 6}$

解题步骤 12.5.10

从 $- 2$ 中减去 $6$ 。

$\frac{2}{- 8}$

解题步骤 12.6

约去 $2$ 和 $- 8$ 的公因数。

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解题步骤 12.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{- 8}$

解题步骤 12.6.2

约去公因数。

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解题步骤 12.6.2.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 12.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 12.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{- 4}$

解题步骤 12.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{4}$

小数形式：

$- 0.25$

微积分学 示例

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