微积分学示例

$lim_{t \to 3} \frac{t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6}{t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{t \to 3} t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

当 $t$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to 3} t^{3} + lim_{t \to 3} 19 t^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $t^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + lim_{t \to 3} 19 t^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $19$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 lim_{t \to 3} t^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2.4

使用极限幂法则把 $t^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - lim_{t \to 3} 68 t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2.5

因为项 $68$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + lim_{t \to 3} 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2.6

计算 $6$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2.7

将 $3$ 代入所有出现 $t$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.7.1

将 $3$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{3^{3} + 19 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2.7.2

将 $3$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{3^{3} + 19 \cdot 3^{2} - 68 lim_{t \to 3} t + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2.7.3

将 $3$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{3^{3} + 19 \cdot 3^{2} - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2.8

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.8.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.8.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{27 + 19 \cdot 3^{2} - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2.8.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{27 + 19 \cdot 9 - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2.8.1.3

将 $19$ 乘以 $9$ 。

$\frac{27 + 171 - 68 \cdot 3 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2.8.1.4

将 $- 68$ 乘以 $3$ 。

$\frac{27 + 171 - 204 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2.8.2

将 $27$ 和 $171$ 相加。

$\frac{198 - 204 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2.8.3

从 $198$ 中减去 $204$ 。

$\frac{- 6 + 6}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.2.8.4

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$\frac{0}{lim_{t \to 3} t^{3} - 9 t}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

当 $t$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{t \to 3} t^{3} - lim_{t \to 3} 9 t}$

解题步骤 1.1.3.2

使用极限幂法则把 $t^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} - lim_{t \to 3} 9 t}$

解题步骤 1.1.3.3

因为项 $9$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 3} t)}^{3} - 9 lim_{t \to 3} t}$

解题步骤 1.1.3.4

将 $3$ 代入所有出现 $t$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.4.1

将 $3$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{0}{3^{3} - 9 lim_{t \to 3} t}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $3$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{0}{3^{3} - 9 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.5

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.5.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{0}{27 - 9 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.5.1.2

将 $- 9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{27 - 27}$

解题步骤 1.1.3.5.2

从 $27$ 中减去 $27$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.5.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{t \to 3} \frac{t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6}{t^{3} - 9 t} = lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $t^{3} + 19 t^{2} - 68 t + 6$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [19 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [19 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [19 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d t} [19 t^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.4.1

因为 $19$ 对于 $t$ 是常数，所以 $19 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $19 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 19 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 19 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $2$ 乘以 $19$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t + \frac{d}{d t} [- 68 t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

解题步骤 1.3.5

计算 $\frac{d}{d t} [- 68 t]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.1

因为 $- 68$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 68 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 68 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

解题步骤 1.3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

解题步骤 1.3.5.3

将 $- 68$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 + \frac{d}{d t} [6]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

解题步骤 1.3.6

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68 + 0}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

解题步骤 1.3.7

将 $3 t^{2} + 38 t - 68$ 和 $0$ 相加。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 9 t]}$

解题步骤 1.3.8

根据加法法则， $t^{3} - 9 t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9 t]$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9 t]}$

解题步骤 1.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t]}$

解题步骤 1.3.10

计算 $\frac{d}{d t} [- 9 t]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.10.1

因为 $- 9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 9 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} - 9 \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} - 9 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.10.3

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{3 t^{2} + 38 t - 68}{3 t^{2} - 9}$

解题步骤 2

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

当 $t$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to 3} 3 t^{2} + 38 t - 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

解题步骤 2.2

当 $t$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to 3} 3 t^{2} + lim_{t \to 3} 38 t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

解题步骤 2.3

因为项 $3$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{t \to 3} t^{2} + lim_{t \to 3} 38 t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

解题步骤 2.4

使用极限幂法则把 $t^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + lim_{t \to 3} 38 t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

解题步骤 2.5

因为项 $38$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - lim_{t \to 3} 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

解题步骤 2.6

计算 $68$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - 9}$

解题步骤 2.7

当 $t$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{lim_{t \to 3} 3 t^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

解题步骤 2.8

因为项 $3$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 lim_{t \to 3} t^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

解题步骤 2.9

使用极限幂法则把 $t^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - lim_{t \to 3} 9}$

解题步骤 2.10

计算 $9$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 3

将 $3$ 代入所有出现 $t$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $3$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 38 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 3.2

将 $3$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 {(lim_{t \to 3} t)}^{2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 3.3

将 $3$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 4

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 4.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3^{1 + 2} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 4.1.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3^{3} + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 4.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{27 + 38 \cdot 3 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 4.1.3

将 $38$ 乘以 $3$ 。

$\frac{27 + 114 - 1 \cdot 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $68$ 。

$\frac{27 + 114 - 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 4.1.5

将 $27$ 和 $114$ 相加。

$\frac{141 - 68}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 4.1.6

从 $141$ 中减去 $68$ 。

$\frac{73}{3 \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 4.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{73}{3^{1} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 4.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{73}{3^{1 + 2} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{73}{3^{3} - 1 \cdot 9}$

解题步骤 4.2.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{73}{27 - 1 \cdot 9}$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{73}{27 - 9}$

解题步骤 4.2.4

从 $27$ 中减去 $9$ 。

$\frac{73}{18}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{73}{18}$

小数形式：

$4.0\overline{5}$

微积分学 示例

微积分学示例