微积分学示例

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t + 9} - 3}{t^{2}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{t + 9} - 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{t + 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.3

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.4

计算 $9$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.5

计算 $3$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + 9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{0 + 9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 - 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

使用极限幂法则把 $t^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t + 9} - 3}{t^{2}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9} - 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9} - 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sqrt{t + 9} - 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t + 9}$ 重写成 ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = t + 9$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t + 9$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 9] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 9] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.2.3

使用 $t + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 9] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.3

根据加法法则， $t + 9$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d t} [9]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.5

因为 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $9$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.8

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.9

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.10

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.13

将 $\frac{{(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.5

将 $\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 t}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 t}$

解题步骤 1.5

将 ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{t + 9}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{t + 9}} \cdot \frac{1}{2 t}$

解题步骤 1.6

合并因数。

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解题步骤 1.6.1

将 $\frac{1}{2 \sqrt{t + 9}}$ 乘以 $\frac{1}{2 t}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{t + 9} (2 t)}$

解题步骤 1.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{1}{4 \sqrt{t + 9} t}$

解题步骤 2

因为函数从左边趋于 $- \infty$ 且从右边趋于 $\infty$ ，所以极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例

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