微积分学示例

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t^{7}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{t \to 0} e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

解题步骤 1.1.2.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

使用极限幂法则把 $t^{7}$ 的指数 $7$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{7}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{7}}$

解题步骤 1.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t^{7}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $e^{t} - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

解题步骤 1.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 等于 $a^{t} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} + 0}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

解题步骤 1.3.5

将 $e^{t}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t}}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t}}{7 t^{6}}$

解题步骤 2

由于分子是正数，分母 $7 t^{6}$ 趋向于零且对于在 $0$ 两边的 $t$ 大于零，所以函数无限递增。

$\infty$

微积分学 示例

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