微积分学示例

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (2 \sin (t))}{t}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (2 \sin (t))}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} 2 \sin (t))}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为项 $2$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (2 lim_{t \to 0} \sin (t))}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.1.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (2 \sin (lim_{t \to 0} t))}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{\sin (2 \sin (0))}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.2.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (2 \sin (t))}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (2 \sin (t))]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (2 \sin (t))]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = 2 \sin (t)$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 \sin (t)$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 \sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d t} [2 \sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $2 \sin (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (2 \sin (t)) \frac{d}{d t} [2 \sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 \sin (t)$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (2 \sin (t)) (2 \frac{d}{d t} [\sin (t)])}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.4

将 $2$ 移到 $\cos (2 \sin (t))$ 的左侧。

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 \sin (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.5

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cos (2 \sin (t)) \cos (t)}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.6

重新排序 $2 \cos (2 \sin (t)) \cos (t)$ 的因式。

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))}{\frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))}{1}$

解题步骤 1.4

用 $2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))$ 除以 $1$ 。

$lim_{t \to 0} 2 \cos (t) \cos (2 \sin (t))$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $2$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{t \to 0} \cos (t) \cos (2 \sin (t))$

解题步骤 2.2

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$2 lim_{t \to 0} \cos (t) \cdot lim_{t \to 0} \cos (2 \sin (t))$

解题步骤 2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot lim_{t \to 0} \cos (2 \sin (t))$

解题步骤 2.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot \cos (lim_{t \to 0} 2 \sin (t))$

解题步骤 2.5

因为项 $2$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot \cos (2 lim_{t \to 0} \sin (t))$

解题步骤 2.6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$2 \cos (lim_{t \to 0} t) \cdot \cos (2 \sin (lim_{t \to 0} t))$

解题步骤 3

将 $0$ 代入所有出现 $t$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$2 \cos (0) \cdot \cos (2 \sin (lim_{t \to 0} t))$

解题步骤 3.2

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$2 \cos (0) \cdot \cos (2 \sin (0))$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \cdot 1 \cdot \cos (2 \sin (0))$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \cdot \cos (2 \sin (0))$

解题步骤 4.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 \cdot \cos (2 \cdot 0)$

解题步骤 4.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$2 \cdot \cos (0)$

解题步骤 4.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 4.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

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