微积分学示例

$lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} - 3 n^{3}} - \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

解题步骤 1

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} - 3 n^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\sqrt[4]{lim_{n \to 8} n^{4} - 3 n^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

解题步骤 3

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[4]{lim_{n \to 8} n^{4} - lim_{n \to 8} 3 n^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $n^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - lim_{n \to 8} 3 n^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

解题步骤 5

因为项 $3$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 lim_{n \to 8} n^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $n^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - lim_{n \to 8} \sqrt[4]{n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

解题步骤 7

将极限移入根号内。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{lim_{n \to 8} n^{4} + 5 n^{3} + 1}$

解题步骤 8

当 $n$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{lim_{n \to 8} n^{4} + lim_{n \to 8} 5 n^{3} + lim_{n \to 8} 1}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $n^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + lim_{n \to 8} 5 n^{3} + lim_{n \to 8} 1}$

解题步骤 10

因为项 $5$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 5 lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} 1}$

解题步骤 11

使用极限幂法则把 $n^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 5 {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} 1}$

解题步骤 12

计算 $1$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 5 {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 1}$

解题步骤 13

将 $8$ 代入所有出现 $n$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 13.1

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\sqrt[4]{8^{4} - 3 {(lim_{n \to 8} n)}^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 5 {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 1}$

解题步骤 13.2

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\sqrt[4]{8^{4} - 3 \cdot 8^{3}} - \sqrt[4]{{(lim_{n \to 8} n)}^{4} + 5 {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 1}$

解题步骤 13.3

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\sqrt[4]{8^{4} - 3 \cdot 8^{3}} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 {(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 1}$

解题步骤 13.4

将 $8$ 代入 $n$ 来计算 $n$ 的极限值。

$\sqrt[4]{8^{4} - 3 \cdot 8^{3}} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

解题步骤 14

化简每一项。

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解题步骤 14.1

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\sqrt[4]{4096 - 3 \cdot 8^{3}} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

解题步骤 14.2

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt[4]{4096 - 3 \cdot 512} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

解题步骤 14.3

将 $- 3$ 乘以 $512$ 。

$\sqrt[4]{4096 - 1536} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

解题步骤 14.4

从 $4096$ 中减去 $1536$ 。

$\sqrt[4]{2560} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

解题步骤 14.5

将 $2560$ 重写为 $4^{4} \cdot 10$ 。

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解题步骤 14.5.1

从 $2560$ 中分解出因数 $256$ 。

$\sqrt[4]{256 (10)} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

解题步骤 14.5.2

将 $256$ 重写为 $4^{4}$ 。

$\sqrt[4]{4^{4} \cdot 10} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

解题步骤 14.6

从根式下提出各项。

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{8^{4} + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

解题步骤 14.7

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{4096 + 5 \cdot 8^{3} + 1}$

解题步骤 14.8

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{4096 + 5 \cdot 512 + 1}$

解题步骤 14.9

将 $5$ 乘以 $512$ 。

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{4096 + 2560 + 1}$

解题步骤 14.10

将 $4096$ 和 $2560$ 相加。

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{6656 + 1}$

解题步骤 14.11

将 $6656$ 和 $1$ 相加。

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{6657}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$4 \sqrt[4]{10} - \sqrt[4]{6657}$

小数形式：

$- 1.91962505 \dots$

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