微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 2

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 5 x^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 lim_{x \to 1} x^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + lim_{x \to 1} 9 x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 5

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 7 x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 7

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 8

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 9

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 9.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{4} - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 9.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 9 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 9.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 7 lim_{x \to 1} x + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 9.4

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 - 5 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 10.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 - 5 \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 10.1.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 5 + 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 10.1.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 - 5 + 9 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 10.1.5

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 5 + 9 - 7 \cdot 1 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 10.1.6

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 5 + 9 - 7 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 10.1.7

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$\frac{- 4 + 9 - 7 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 10.1.8

将 $- 4$ 和 $9$ 相加。

$\frac{5 - 7 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 10.1.9

从 $5$ 中减去 $7$ 。

$\frac{- 2 + 2}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 10.1.10

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{0}{x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1}$

解题步骤 10.2

用 $0$ 除以 $x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1$ 。

$0$

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