微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3} - 2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.3

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.5

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3} - lim_{x \to 1} 2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.6

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{1^{2} + 3} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{\sqrt{1 + 3} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 - 2}{x^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.6

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{x^{2} - 1}$

解题步骤 3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{0}{x^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 3.3

用 $0$ 除以 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$0$

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