微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 4} x^{4} - 256}{x^{3} - 64}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 4} x^{4} - lim_{x \to 4} 256}{x^{3} - 64}$

解题步骤 1.2

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{4} - lim_{x \to 4} 256}{x^{3} - 64}$

解题步骤 1.3

计算 $256$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{4} - 1 \cdot 256}{x^{3} - 64}$

解题步骤 2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4^{4} - 1 \cdot 256}{x^{3} - 64}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{256 - 1 \cdot 256}{x^{3} - 64}$

解题步骤 3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $256$ 。

$\frac{256 - 256}{x^{3} - 64}$

解题步骤 3.1.3

从 $256$ 中减去 $256$ 。

$\frac{0}{x^{3} - 64}$

解题步骤 3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$\frac{0}{x^{3} - 4^{3}}$

解题步骤 3.2.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{0}{(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})}$

解题步骤 3.2.3

化简。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{0}{(x - 4) (x^{2} + 4 \cdot x + 4^{2})}$

解题步骤 3.2.3.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}$

解题步骤 3.3

用 $0$ 除以 $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)$ 。

$0$

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