微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 8} 5 x + 6}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

解题步骤 1.2

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

解题步骤 1.3

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{5 lim_{x \to 8} x + 6}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

解题步骤 2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5 \cdot 8 + 6}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$\frac{40 + 6}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

解题步骤 3.1.2

将 $40$ 和 $6$ 相加。

$\frac{46}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{46}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6 x^{2} + 1}}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$ 。

$\frac{46}{\sqrt{6 x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{6 x^{2} + 1}}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$

解题步骤 3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{46}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6 x^{2} + 1}}{\sqrt{6 x^{2} + 1}}$ 。

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{\sqrt{6 x^{2} + 1} \sqrt{6 x^{2} + 1}}$

解题步骤 3.3.2

对 $\sqrt{6 x^{2} + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{\sqrt{6 x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{6 x^{2} + 1}}$

解题步骤 3.3.3

对 $\sqrt{6 x^{2} + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{\sqrt{6 x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{6 x^{2} + 1}}^{1}}$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{\sqrt{6 x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{\sqrt{6 x^{2} + 1}}^{2}}$

解题步骤 3.3.6

将 ${\sqrt{6 x^{2} + 1}}^{2}$ 重写为 $6 x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6 x^{2} + 1}$ 重写成 ${(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{({(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{(6 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{{(6 x^{2} + 1)}^{1}}$

解题步骤 3.3.6.5

化简。

$\frac{46 \sqrt{6 x^{2} + 1}}{6 x^{2} + 1}$

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