微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 8} 10^{8} x^{5} + 10^{6} x^{4} + 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} 10^{8} x^{5} + lim_{x \to 8} 10^{6} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 2

因为项 $10^{8}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{10^{8} lim_{x \to 8} x^{5} + lim_{x \to 8} 10^{6} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{5}$ 的指数 $5$ 移到极限外。

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + lim_{x \to 8} 10^{6} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 4

因为项 $10^{6}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 10^{4} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 6

因为项 $10^{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 10^{4} lim_{x \to 8} x^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{10^{8} {(lim_{x \to 8} x)}^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 10^{4} {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 8

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 10^{4} {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 8.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 8.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{10^{8} \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 9

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

对 $10$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{100000000 \cdot 8^{5} + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 9.1.2

对 $8$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{100000000 \cdot 32768 + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 9.1.3

将 $100000000$ 乘以 $32768$ 。

$\frac{3276800000000 + 10^{6} \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 9.1.4

对 $10$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{3276800000000 + 1000000 \cdot 8^{4} + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 9.1.5

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{3276800000000 + 1000000 \cdot 4096 + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 9.1.6

将 $1000000$ 乘以 $4096$ 。

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 10^{4} \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 9.1.7

对 $10$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 10000 \cdot 8^{2}}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 9.1.8

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 10000 \cdot 64}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 9.1.9

将 $10000$ 乘以 $64$ 。

$\frac{3276800000000 + 4096000000 + 640000}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 9.1.10

将 $3276800000000$ 和 $4096000000$ 相加。

$\frac{3280896000000 + 640000}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 9.1.11

将 $3280896000000$ 和 $640000$ 相加。

$\frac{3280896640000}{10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

从 $10^{9} x^{6} + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}$ 中分解出因数 $10^{5} x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1.1

从 $10^{9} x^{6}$ 中分解出因数 $10^{5} x^{3}$ 。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{7} x^{5} + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 9.2.1.2

从 $10^{7} x^{5}$ 中分解出因数 $10^{5} x^{3}$ 。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{5} x^{3} (10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3}}$

解题步骤 9.2.1.3

从 $10^{5} x^{3}$ 中分解出因数 $10^{5} x^{3}$ 。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{5} x^{3} (10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3} (1)}$

解题步骤 9.2.1.4

从 $10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3}) + 10^{5} x^{3} (10^{2} x^{2})$ 中分解出因数 $10^{5} x^{3}$ 。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3} + 10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3} (1)}$

解题步骤 9.2.1.5

从 $10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3} + 10^{2} x^{2}) + 10^{5} x^{3} (1)$ 中分解出因数 $10^{5} x^{3}$ 。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10^{4} x^{3} + 10^{2} x^{2} + 1)}$

解题步骤 9.2.2

对 $10$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10000 x^{3} + 10^{2} x^{2} + 1)}$

解题步骤 9.2.3

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1)}$

解题步骤 9.2.4

使用有理根检验法因式分解 $10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.4.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 10000, \pm 2, \pm 5000, \pm 4, \pm 2500, \pm 5, \pm 2000, \pm 8, \pm 1250, \pm 10, \pm 1000, \pm 16, \pm 625, \pm 20, \pm 500, \pm 25, \pm 400, \pm 40, \pm 250, \pm 50, \pm 200, \pm 80, \pm 125, \pm 100$

解题步骤 9.2.4.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.0001, \pm 0.5, \pm 0.0002, \pm 0.25, \pm 0.0004, \pm 0.2, \pm 0.0005, \pm 0.125, \pm 0.0008, \pm 0.1, \pm 0.001, \pm 0.0625, \pm 0.0016, \pm 0.05, \pm 0.002, \pm 0.04, \pm 0.0025, \pm 0.025, \pm 0.004, \pm 0.02, \pm 0.005, \pm 0.0125, \pm 0.008, \pm 0.01$

解题步骤 9.2.4.3

代入 $- 0.05$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 0.05$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.4.3.1

将 $- 0.05$ 代入多项式。

$10000 {(- 0.05)}^{3} + 100 {(- 0.05)}^{2} + 1$

解题步骤 9.2.4.3.2

对 $- 0.05$ 进行 $3$ 次方运算。

$10000 \cdot - 0.000125 + 100 {(- 0.05)}^{2} + 1$

解题步骤 9.2.4.3.3

将 $10000$ 乘以 $- 0.000125$ 。

$- 1.25 + 100 {(- 0.05)}^{2} + 1$

解题步骤 9.2.4.3.4

对 $- 0.05$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1.25 + 100 \cdot 0.0025 + 1$

解题步骤 9.2.4.3.5

将 $100$ 乘以 $0.0025$ 。

$- 1.25 + 0.25 + 1$

解题步骤 9.2.4.3.6

将 $- 1.25$ 和 $0.25$ 相加。

$- 1 + 1$

解题步骤 9.2.4.3.7

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$0$

解题步骤 9.2.4.4

因为 $- 0.05$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $20 x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1}{20 x + 1}$

解题步骤 9.2.4.5

用 $10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1$ 除以 $20 x + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.4.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$20 x$

$1$

$10000 x^{3}$

$100 x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 9.2.4.5.2

将被除数中的最高阶项 $10000 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $20 x$ 。

					$500 x^{2}$
	$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

解题步骤 9.2.4.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$10000 x^{3}$	+	$500 x^{2}$

解题步骤 9.2.4.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $10000 x^{3} + 500 x^{2}$ 中的所有符号

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$

解题步骤 9.2.4.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$

解题步骤 9.2.4.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$500 x^{2}$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 9.2.4.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 400 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $20 x$ 。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 9.2.4.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$400 x^{2}$	-	$20 x$

解题步骤 9.2.4.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 400 x^{2} - 20 x$ 中的所有符号

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$

解题步骤 9.2.4.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$

解题步骤 9.2.4.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$

解题步骤 9.2.4.5.12

将被除数中的最高阶项 $20 x$ 除以除数中的最高阶项 $20 x$ 。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$

解题步骤 9.2.4.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$
							+	$20 x$	+	$1$

解题步骤 9.2.4.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $20 x + 1$ 中的所有符号

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$
							-	$20 x$	-	$1$

解题步骤 9.2.4.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$500 x^{2}$	-	$20 x$	+	$1$
$20 x$	+	$1$		$10000 x^{3}$	+	$100 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$10000 x^{3}$	-	$500 x^{2}$
					-	$400 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$400 x^{2}$	+	$20 x$
							+	$20 x$	+	$1$
							-	$20 x$	-	$1$
										$0$

解题步骤 9.2.4.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$500 x^{2} - 20 x + 1$

解题步骤 9.2.4.6

将 $10000 x^{3} + 100 x^{2} + 1$ 书写为因数的集合。

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} ((20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1))}$

$\frac{3280896640000}{10^{5} x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

解题步骤 9.2.5

对 $10$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{3280896640000}{100000 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

解题步骤 9.3

约去 $3280896640000$ 和 $100000$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.1

从 $3280896640000$ 中分解出因数 $20000$ 。

$\frac{20000 (164044832)}{100000 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

解题步骤 9.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.2.1

从 $100000 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)$ 中分解出因数 $20000$ 。

$\frac{20000 (164044832)}{20000 (5 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1))}$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

$\frac{20000 \cdot 164044832}{20000 (5 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1))}$

解题步骤 9.3.2.3

重写表达式。

$\frac{164044832}{5 x^{3} (20 x + 1) (500 x^{2} - 20 x + 1)}$

微积分学 示例

微积分学示例