微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{- x}}{e^{x} - 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - e^{- x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

解题步骤 1.1.2.3

将极限移入指数中。

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

解题步骤 1.1.2.4

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

解题步骤 1.1.2.5

化简项。

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解题步骤 1.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

解题步骤 1.1.2.5.2

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.2.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

解题步骤 1.1.2.5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

解题步骤 1.1.2.5.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

将极限移入指数中。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{- x}}{e^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $1 - e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3.4.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3.4.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3.4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3.4.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3.4.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 1 \cdot e^{- x})}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3.4.7

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3.4.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3.4.9

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3.5

将 $0$ 和 $e^{- x}$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $e^{x} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.7

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{e^{x} + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{e^{x}}$

解题步骤 1.4

约去 $e^{- x}$ 和 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} e^{- 2 x}}{e^{x}}$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} e^{- 2 x}}{e^{x} \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} e^{- 2 x}}{e^{x} \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- 2 x}}{1}$

解题步骤 1.4.2.4

用 $e^{- 2 x}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} e^{- 2 x}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0} - 2 x}$

解题步骤 2.2

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{- 2 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- 2 \cdot 0}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$e^{0}$

解题步骤 4.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1$

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