微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

解题步骤 2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

解题步骤 3

将极限移入根号内。

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

解题步骤 5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

解题步骤 6

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

解题步骤 6.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3 \sqrt{512} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

解题步骤 7.1.2

将 $512$ 重写为 $16^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

从 $512$ 中分解出因数 $256$ 。

$\frac{3 \sqrt{256 (2)} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

解题步骤 7.1.2.2

将 $256$ 重写为 $16^{2}$ 。

$\frac{3 \sqrt{16^{2} \cdot 2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

解题步骤 7.1.3

从根式下提出各项。

$\frac{3 (16 \sqrt{2}) + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

解题步骤 7.1.4

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$\frac{48 \sqrt{2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

解题步骤 7.1.5

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 x^{3}}}$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

将 $2 x^{3}$ 重写为 $x^{2} \cdot (2 x)$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

因式分解出 $x^{2}$ 。

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 (x^{2} x)}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $2$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot 2 x}}$

解题步骤 7.2.1.3

添加圆括号。

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot (2 x)}}$

解题步骤 7.2.2

从根式下提出各项。

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$

解题步骤 7.3

将 $\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ 。

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$

解题步骤 7.4

合并和化简分母。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ 。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}}$

解题步骤 7.4.2

移动 $\sqrt{2 x}$ 。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (\sqrt{2 x} \sqrt{2 x})}$

解题步骤 7.4.3

对 $\sqrt{2 x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x})}$

解题步骤 7.4.4

对 $\sqrt{2 x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1})}$

解题步骤 7.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{2}}$

解题步骤 7.4.7

将 ${\sqrt{2 x}}^{2}$ 重写为 $2 x$ 。

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解题步骤 7.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.7.4.1

约去公因数。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.4.7.4.2

重写表达式。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{1}}$

解题步骤 7.4.7.5

化简。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (2 x)}$

解题步骤 7.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \cdot x \cdot 2}$

解题步骤 7.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x^{2} \cdot 2}$

解题步骤 7.6

约去 $48 \sqrt{2} + 24$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.1

从 $(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{x^{2} \cdot 2}$

解题步骤 7.6.2

约去公因数。

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解题步骤 7.6.2.1

从 $x^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

解题步骤 7.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

解题步骤 7.6.2.3

重写表达式。

$\frac{(24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

解题步骤 7.7

运用分配律。

$\frac{24 \sqrt{2} \sqrt{2 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

解题步骤 7.8

乘以 $24 \sqrt{2} \sqrt{2 x}$ 。

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解题步骤 7.8.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{24 \sqrt{2 x \cdot 2} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

解题步骤 7.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{24 \sqrt{4 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

解题步骤 7.9

化简每一项。

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解题步骤 7.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{24 \sqrt{2^{2} x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

解题步骤 7.9.2

从根式下提出各项。

$\frac{24 (2 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

解题步骤 7.9.3

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$\frac{48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

解题步骤 7.10

化简分子。

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解题步骤 7.10.1

从 $48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 7.10.1.1

从 $48 \sqrt{x}$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

解题步骤 7.10.1.2

从 $12 \sqrt{2 x}$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})}{x^{2}}$

解题步骤 7.10.1.3

从 $12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (4 \sqrt{x} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

解题步骤 7.10.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

解题步骤 7.10.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 7.10.4

对 $2 x$ 运用乘积法则。

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 7.10.5

从 $4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.10.5.1

从 $4 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 7.10.5.2

从 $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 7.10.5.3

从 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}}))}{x^{2}}$

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

解题步骤 7.11

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.12

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.12.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 - \frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.12.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.12.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.12.4

在公分母上合并分子。

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}$

解题步骤 7.12.5

化简分子。

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解题步骤 7.12.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{4 - 1}{2}}}$

解题步骤 7.12.5.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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