微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - 3 x - 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 5

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 6

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 6.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 \cdot 64 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 7.1.2

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$\frac{128 - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 7.1.3

将 $- 3$ 乘以 $8$ 。

$\frac{128 - 24 - 1 \cdot 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{128 - 24 - 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 7.1.5

从 $128$ 中减去 $24$ 。

$\frac{104 - 6}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 7.1.6

从 $104$ 中减去 $6$ 。

$\frac{98}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{98}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ 。

$\frac{98}{\sqrt{x^{4} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 7.3

合并和化简分母。

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解题步骤 7.3.1

将 $\frac{98}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ 。

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1} \sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 7.3.2

对 $\sqrt{x^{4} + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{1} \sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 7.3.3

对 $\sqrt{x^{4} + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{4} + 1}}^{1}}$

解题步骤 7.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{2}}$

解题步骤 7.3.6

将 ${\sqrt{x^{4} + 1}}^{2}$ 重写为 $x^{4} + 1$ 。

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解题步骤 7.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{4} + 1}$ 重写成 ${(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{({(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{1}}$

解题步骤 7.3.6.5

化简。

$\frac{98 \sqrt{x^{4} + 1}}{x^{4} + 1}$

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