微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}} - 1}{x}$

解题步骤 1

将 ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\sqrt[3]{1 + 2 x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1}{x}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{1 + 2 x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{1 + 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} 1 + 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt[3]{1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt[3]{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.1.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt[3]{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{1 + 2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.3.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sqrt[3]{1 + 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt[3]{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3.1.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x}]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{1 + 2 x}$ 重写成 ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = 1 + 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + 2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.2.3

使用 $1 + 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.3

根据加法法则， $1 + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.9

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.10

化简分子。

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解题步骤 2.3.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.10.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.12

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.13

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.14

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.15

组合 $\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 2}{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.16

将 $2$ 移到 ${(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.5

将 $\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}}{1}$

解题步骤 2.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} \frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

解题步骤 2.5

将 $\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.4

使用极限幂法则把 ${(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ 的指数 $\frac{2}{3}$ 移到极限外。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + 2 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + 2 \cdot 0)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

合并。

$\frac{2 \cdot 1}{3 {(1 + 2 \cdot 0)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3 {(1 + 2 \cdot 0)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.3

化简分母。

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解题步骤 5.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{3 {(1 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.3.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{3 \cdot 1}$

解题步骤 5.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{3}$

小数形式：

$0.\overline{6}$

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