微积分学示例

$lim_{x \to 0} {(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}}$ 重写为 $e^{\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{1}{x}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\cos (x) + \sin (x))}^{\frac{1}{x}})$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (\cos (x) + \sin (x))}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\ln (\cos (x) + \sin (x))$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x) + \sin (x))}{x}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x) + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

将极限移入对数中。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{\ln (\cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{\ln (\cos (0) + \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.6.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{\frac{\ln (1 + \sin (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.6.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.6.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.6.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x) + \sin (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x) + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x) + \sin (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (x) + \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x) + \sin (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $\cos (x) + \sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $\cos (x) + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.6

化简。

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解题步骤 3.3.6.1

重新排序 $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} (- \sin (x) + \cos (x))$ 的因式。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(- \sin (x) + \cos (x)) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.6.2

运用分配律。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.6.3

组合 $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.6.4

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.6.5

在公分母上合并分子。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.6.6

从 $- \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x)) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.6.7

从 $\cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x)) - 1 \cdot - 1 \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.6.8

从 $- (\sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.6.9

将 $- (\sin (x) - \cos (x))$ 重写为 $- 1 (\sin (x) - \cos (x))$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1 (\sin (x) - \cos (x))}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.6.10

将负号移到分数的前面。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}{1}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} \cdot 1}$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{- lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{- \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

解题步骤 4.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

解题步骤 4.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + \sin (x)}}$

解题步骤 4.6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

解题步骤 4.7

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}}$

解题步骤 4.8

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 5.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}}$

解题步骤 5.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- \frac{\sin (0) - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (0)}}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{- \frac{0 - \cos (0)}{\cos (0) + \sin (0)}}$

解题步骤 6.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{- \frac{0 - 1 \cdot 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

解题步骤 6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{- \frac{0 - 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

解题步骤 6.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$e^{- \frac{- 1}{\cos (0) + \sin (0)}}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$e^{- \frac{- 1}{1 + \sin (0)}}$

解题步骤 6.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{- \frac{- 1}{1 + 0}}$

解题步骤 6.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e^{- \frac{- 1}{1}}$

解题步骤 6.3

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$e^{- - 1}$

解题步骤 6.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{1}$

解题步骤 6.5

化简。

$e$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e$

小数形式：

$2.71828182 \dots$

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