微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (2 x) - 4 x}{x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 6 \sin (2 x) - 4 x}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 6 \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.2

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 lim_{x \to 0} \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{6 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{6 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 \sin (2 \cdot 0) - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{6 \sin (2 \cdot 0) - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.7.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{6 \sin (0) - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.7.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{6 \cdot 0 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.7.1.3

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.7.1.4

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.7.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{6 \sin (2 x) - 4 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x) - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x) - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $6 \sin (2 x) - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 \sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \sin (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{6 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{6 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{6 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.7

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{12 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{12 \cos (2 x) - 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{12 \cos (2 x) - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{12 \cos (2 x) - 4}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.5

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 + 12 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 + 12 \cos (2 x)}{1}$

解题步骤 1.4

用 $- 4 + 12 \cos (2 x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} - 4 + 12 \cos (2 x)$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- lim_{x \to 0} 4 + lim_{x \to 0} 12 \cos (2 x)$

解题步骤 2.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- 1 \cdot 4 + lim_{x \to 0} 12 \cos (2 x)$

解题步骤 2.3

因为项 $12$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 4 + 12 lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

解题步骤 2.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$- 4 + 12 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

解题步骤 2.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 4 + 12 \cos (2 lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 4 + 12 \cos (2 \cdot 0)$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- 4 + 12 \cos (0)$

解题步骤 4.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 4 + 12 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$- 4 + 12$

解题步骤 4.2

将 $- 4$ 和 $12$ 相加。

$8$

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