微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (8 x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{\sin^{2} (8 x)}$ 转换成 $\csc^{2} (8 x)$ 。

$lim_{x \to 0} x^{2} \csc^{2} (8 x)$

解题步骤 2

将 $x^{2} \csc^{2} (8 x)$ 重写为 $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

解题步骤 3

设置极限为左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

解题步骤 4

计算左极限。

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解题步骤 4.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

解题步骤 4.1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.1.2.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

解题步骤 4.1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

解题步骤 4.1.1.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

解题步骤 4.1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (8 x)}}$

解题步骤 4.1.1.3.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\csc^{2} (8 x)}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.1.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

解题步骤 4.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

解题步骤 4.1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = \csc (8 x)$ 。

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解题步骤 4.1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\csc (8 x)$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

解题步骤 4.1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

解题步骤 4.1.3.3.3

使用 $\csc (8 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

解题步骤 4.1.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 4.1.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $8 x$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 4.1.3.4.2

$\csc (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 4.1.3.4.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 4.1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (8 x) (\csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 4.1.3.6

对 $\csc (8 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (8 x) \csc^{- 3} (8 x)) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 4.1.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (8 x)}^{1 - 3} (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 4.1.3.8

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 4.1.3.9

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 4.1.3.10

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.1.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3.12

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x)}$

解题步骤 4.1.3.13

化简。

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解题步骤 4.1.3.13.1

将 $\csc (8 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 {(\frac{1}{\sin (8 x)})}^{- 2} \cot (8 x)}$

解题步骤 4.1.3.13.2

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \cot (8 x)}$

解题步骤 4.1.3.13.3

将 $\cot (8 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

解题步骤 4.1.3.13.4

约去 $\sin (8 x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.13.4.1

从 $16 \sin^{2} (8 x)$ 中分解出因数 $\sin (8 x)$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

解题步骤 4.1.3.13.4.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

解题步骤 4.1.3.13.4.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

解题步骤 4.1.4

约去 $2$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

解题步骤 4.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.4.2.1

从 $16 \sin (8 x) \cos (8 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

解题步骤 4.1.4.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

解题步骤 4.1.4.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

解题步骤 4.1.5

分离分数。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \cdot \frac{1}{\sin (8 x)}$

解题步骤 4.1.6

将 $\frac{1}{\sin (8 x)}$ 转换成 $\csc (8 x)$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \csc (8 x)$

解题步骤 4.1.7

分离分数。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} \csc (8 x)$

解题步骤 4.1.8

将 $\frac{1}{\cos (8 x)}$ 转换成 $\sec (8 x)$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8} \sec (8 x) \csc (8 x)$

解题步骤 4.1.9

组合 $\frac{x}{8}$ 和 $\sec (8 x)$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (8 x)}{8} \csc (8 x)$

解题步骤 4.1.10

组合 $\frac{x \sec (8 x)}{8}$ 和 $\csc (8 x)$ 。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (8 x) \csc (8 x)}{8}$

解题步骤 4.2

因为项 $\frac{1}{8}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0^{-}} x \sec (8 x) \csc (8 x)$

解题步骤 4.3

制作一个表格展示函数 $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \sec (8 x) \csc (8 x) \\ - 0.1 & 0.20008531 \\ - 0.01 & 0.12553493 \\ - 0.001 & 0.12500533 \\ - 0.0001 & 0.12500005 \end{array}$

解题步骤 4.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.125$ 。因此， $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0.125$ 。

$\frac{1}{8} \cdot 0.125$

解题步骤 4.5

约去 $0.125$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

从 $8$ 中分解出因数 $0.125$ 。

$\frac{1}{0.125 (64)} \cdot 0.125$

解题步骤 4.5.2

约去公因数。

$\frac{1}{0.125 \cdot 64} \cdot 0.125$

解题步骤 4.5.3

重写表达式。

$\frac{1}{64}$

解题步骤 5

设置极限为右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

解题步骤 6

计算右极限。

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解题步骤 6.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 6.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 6.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

解题步骤 6.1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 6.1.1.2.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

解题步骤 6.1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

解题步骤 6.1.1.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

解题步骤 6.1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 6.1.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (8 x)}}$

解题步骤 6.1.1.3.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\csc^{2} (8 x)}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.1.1.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

解题步骤 6.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 6.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

解题步骤 6.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

解题步骤 6.1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = \csc (8 x)$ 。

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解题步骤 6.1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\csc (8 x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

解题步骤 6.1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

解题步骤 6.1.3.3.3

使用 $\csc (8 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

解题步骤 6.1.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 6.1.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $8 x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 6.1.3.4.2

$\csc (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 6.1.3.4.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 6.1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (8 x) (\csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 6.1.3.6

对 $\csc (8 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (8 x) \csc^{- 3} (8 x)) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 6.1.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (8 x)}^{1 - 3} (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 6.1.3.8

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 6.1.3.9

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 6.1.3.10

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 6.1.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \cdot 1}$

解题步骤 6.1.3.12

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x)}$

解题步骤 6.1.3.13

化简。

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解题步骤 6.1.3.13.1

将 $\csc (8 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 {(\frac{1}{\sin (8 x)})}^{- 2} \cot (8 x)}$

解题步骤 6.1.3.13.2

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \cot (8 x)}$

解题步骤 6.1.3.13.3

将 $\cot (8 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

解题步骤 6.1.3.13.4

约去 $\sin (8 x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.13.4.1

从 $16 \sin^{2} (8 x)$ 中分解出因数 $\sin (8 x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

解题步骤 6.1.3.13.4.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

解题步骤 6.1.3.13.4.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

解题步骤 6.1.4

约去 $2$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

解题步骤 6.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.4.2.1

从 $16 \sin (8 x) \cos (8 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

解题步骤 6.1.4.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

解题步骤 6.1.4.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

解题步骤 6.1.5

分离分数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \cdot \frac{1}{\sin (8 x)}$

解题步骤 6.1.6

将 $\frac{1}{\sin (8 x)}$ 转换成 $\csc (8 x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \csc (8 x)$

解题步骤 6.1.7

分离分数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} \csc (8 x)$

解题步骤 6.1.8

将 $\frac{1}{\cos (8 x)}$ 转换成 $\sec (8 x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8} \sec (8 x) \csc (8 x)$

解题步骤 6.1.9

组合 $\frac{x}{8}$ 和 $\sec (8 x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (8 x)}{8} \csc (8 x)$

解题步骤 6.1.10

组合 $\frac{x \sec (8 x)}{8}$ 和 $\csc (8 x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (8 x) \csc (8 x)}{8}$

解题步骤 6.2

因为项 $\frac{1}{8}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0^{+}} x \sec (8 x) \csc (8 x)$

解题步骤 6.3

制作一个表格展示函数 $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \sec (8 x) \csc (8 x) \\ 0.1 & 0.20008531 \\ 0.01 & 0.12553493 \\ 0.001 & 0.12500533 \\ 0.0001 & 0.12500005 \end{array}$

解题步骤 6.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.125$ 。因此， $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0.125$ 。

$\frac{1}{8} \cdot 0.125$

解题步骤 6.5

约去 $0.125$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

从 $8$ 中分解出因数 $0.125$ 。

$\frac{1}{0.125 (64)} \cdot 0.125$

解题步骤 6.5.2

约去公因数。

$\frac{1}{0.125 \cdot 64} \cdot 0.125$

解题步骤 6.5.3

重写表达式。

$\frac{1}{64}$

解题步骤 7

因为左极限等于右极限，所以极限等于 $\frac{1}{64}$ 。

$\frac{1}{64}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{64}$

小数形式：

$0.015625$

微积分学 示例

微积分学示例