微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}}{x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 2 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 2 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.6

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.7

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{1 - lim_{x \to 0} 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.9

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{1 - 4 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.10

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.10.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{1 + 2 \cdot 0} - \sqrt{1 - 4 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.10.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{1 + 2 \cdot 0} - \sqrt{1 - 4 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.11

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.11.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 - 4 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.11.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{1 - 4 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.11.1.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1 - \sqrt{1 - 4 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.11.1.4

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 - \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.11.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.11.1.6

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.11.1.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.11.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 2 x}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + 2 x}$ 重写成 ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 + 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 + 2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.2.3

使用 $1 + 2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.3

根据加法法则， $1 + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.9

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.10

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.12

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.13

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.15

组合 $\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.16

将 $2$ 移到 ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.18

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3.19

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - 4 x}$ 重写成 ${(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - 4 x$ 。

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解题步骤 1.3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 - 4 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.3.3

使用 $1 - 4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.4

根据加法法则， $1 - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 4 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.10

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.11

化简分子。

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解题步骤 1.3.4.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.12

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.13

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 4))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.14

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 4)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 4)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.16

组合 $\frac{{(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $- 4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 4}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.17

将 $- 4$ 移到 ${(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 4 \cdot {(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 4}{2 {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.19

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.20

约去公因数。

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解题步骤 1.3.4.20.1

从 $2 {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot - 2}{2 ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.20.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.20.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.21

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - - \frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.22

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.23

将 $\frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 1.4.1

将 ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{1 + 2 x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + \frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4.2

将 ${(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{1 - 4 x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}}{1}$

解题步骤 1.5

用 $\frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

解题步骤 2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

解题步骤 2.4

将极限移入根号内。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

解题步骤 2.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

解题步骤 2.7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

解题步骤 2.8

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}}$

解题步骤 2.9

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}$

解题步骤 2.10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}$

解题步骤 2.11

将极限移入根号内。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - 4 x}}$

解题步骤 2.12

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 4 x}}$

解题步骤 2.13

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} 4 x}}$

解题步骤 2.14

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0}}$

解题步骤 4.1.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{1}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0}}$

解题步骤 4.1.1.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{1} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0}}$

解题步骤 4.1.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1 + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0}}$

解题步骤 4.1.3

化简分母。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$1 + 2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 + 2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

解题步骤 4.1.3.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$1 + 2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 4.1.4

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

约去公因数。

$1 + 2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 4.1.4.2

重写表达式。

$1 + 2 \cdot 1$

解题步骤 4.1.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$1 + 2$

解题步骤 4.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3$

微积分学 示例

微积分学示例