微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

解题步骤 1

计算 $\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

解题步骤 2.1.2

从 $t^{\frac{1}{2}} + t^{2}$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}}{3 t - t^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

从 $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{3}{2}})}{3 t - t^{2}}$

解题步骤 2.1.3

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + t^{\frac{3}{2}})}{3 t - t^{2}}$

解题步骤 2.1.4

将 $t^{\frac{3}{2}}$ 重写为 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{3}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{3})}{3 t - t^{2}}$

解题步骤 2.1.5

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1^{2} - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{3 t - t^{2}}$

解题步骤 2.1.6

化简。

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解题步骤 2.1.6.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{3 t - t^{2}}$

解题步骤 2.1.6.2

将 $- 1 t^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $- t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{3 t - t^{2}}$

解题步骤 2.1.6.3

将 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.6.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{3 t - t^{2}}$

解题步骤 2.1.6.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.6.3.2.1

约去公因数。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{3 t - t^{2}}$

解题步骤 2.1.6.3.2.2

重写表达式。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{1}))}{3 t - t^{2}}$

解题步骤 2.1.6.4

化简。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t))}{3 t - t^{2}}$

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{3 t - t^{2}}$

解题步骤 2.2

从 $3 t - t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $3 t$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 3 - t^{2}}$

解题步骤 2.2.2

从 $- t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 3 + t (- t)}$

解题步骤 2.2.3

从 $t \cdot 3 + t (- t)$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (3 - t)}$

解题步骤 2.3

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $t^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (3 - t) t^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.4

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.1

移动 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t (3 - t)}$

解题步骤 2.4.2

将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (3 - t)}$

解题步骤 2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (3 - t)}$

解题步骤 2.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (3 - t)}$

解题步骤 2.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (3 - t)}$

解题步骤 2.4.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{1}{2}} (3 - t)}$

微积分学 示例

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