微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1} - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + 1} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.1.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{0^{2} + 1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{\sqrt{0 + 1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sqrt{x^{2} + 1} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 重写成 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.2.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.3

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.8

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.9

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.10

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.11

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.13

组合 $2$ 和 $\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.14

组合 $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.16

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.3.17

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.5

将 $\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

解题步骤 1.5

将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{1}{2 x}$

解题步骤 1.6

将 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 乘以 $\frac{1}{2 x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1} (2 x)}$

解题步骤 1.7

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1} (2 x)}$

解题步骤 1.7.2

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} \cdot (2)}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 2.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 2.4

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}}$

解题步骤 2.6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}}$

解题步骤 2.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0^{2} + 1}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

合并。

$\frac{1 \cdot 1}{2 \sqrt{0^{2} + 1}}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 \sqrt{0^{2} + 1}}$

解题步骤 4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2 \sqrt{0 + 1}}$

解题步骤 4.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2 \sqrt{1}}$

解题步骤 4.3.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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