微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 1

设置极限为左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 2

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 2.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $\frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$ 的极限值。

$\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 3

设置极限为右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4

计算右极限。

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解题步骤 4.1

计算极限值。

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解题步骤 4.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.1.2

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.1.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$9 \frac{lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 4.2.1

将 $x^{x}$ 重写为 $e^{\ln (x^{x})}$ 。

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{x})}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.2.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{x})$ 。

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.3

将极限移入指数中。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.4

将 $x \ln (x)$ 重写为 $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ 。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.5.1.1

取分子和分母极限值。

$9 \frac{1}{e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.1.2

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (x)$ 无限递减。

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.1.3

因为分子是常数且当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时分母趋于 $0$ ，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于无穷大。

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 4.5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.5.3.1

对分子和分母进行求导。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.3.3

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.3.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.4

将分子乘以分母的倒数。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.5

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $x^{2}$ 。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.6

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.6.2.3

约去公因数。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.6.2.4

重写表达式。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.5.6.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.6

计算极限值。

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解题步骤 4.6.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$9 \frac{1}{e^{- lim_{x \to 0^{+}} x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$9 \frac{1}{e^{0}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

解题步骤 4.7

由于分子是正数，分母 $x$ 趋向于零且对于在 $0$ 右边的 $x$ 大于零，所以函数无限递增。

$9 \frac{1}{e^{0}} - \infty$

解题步骤 4.8

化简答案。

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解题步骤 4.8.1

化简每一项。

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解题步骤 4.8.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

解题步骤 4.8.1.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.1.2.1

约去公因数。

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

解题步骤 4.8.1.2.2

重写表达式。

$9 \cdot 1 - \infty$

解题步骤 4.8.1.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$9 - \infty$

解题步骤 4.8.1.4

非零常数乘以无穷大结果为无穷大。

$9 + - \infty$

解题步骤 4.8.2

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$- \infty$

解题步骤 5

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例

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