微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{x \sin (x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

使用极限幂法则把 $\tan^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 1.1.3.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

解题步骤 1.1.3.4

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.4.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\tan (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.4

重新排序 $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.6

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

解题步骤 1.3.8

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 3.1.2.2

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 \frac{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 3.1.2.3

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 3.1.2.4

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 3.1.2.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{\sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 3.1.2.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{\sec^{2} (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 3.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.6.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \frac{1^{2} \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 3.1.2.6.2

一的任意次幂都为一。

$2 \frac{1 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 3.1.2.6.3

将 $\tan (0)$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 3.1.2.6.4

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 3.1.3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 3.1.3.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 3.1.3.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.1.3.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.1.3.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.1.3.5.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

解题步骤 3.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.6.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

解题步骤 3.1.3.6.1.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{0}{0 + \sin (0)}$

解题步骤 3.1.3.6.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 \frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 3.1.3.6.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.3.6.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec^{2} (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.4

通过指数相加将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 lim_{x \to 0} \frac{{\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.4.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.5.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.6

将 $2$ 移到 $\tan (x)$ 的左侧。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.7

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.8

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.9

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.12

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{1} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.13

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{1} (x) \sec^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.16

重新排序项。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

解题步骤 3.3.17

根据加法法则， $x \cos (x) + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 3.3.18

计算 $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.18.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 3.3.18.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 3.3.18.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 3.3.18.4

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 3.3.19

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \cos (x)}$

解题步骤 3.3.20

化简。

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解题步骤 3.3.20.1

将 $\cos (x)$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)}$

解题步骤 3.3.20.2

重新排序项。

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

解题步骤 4.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

解题步骤 4.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$2 \frac{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

解题步骤 4.5

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 \frac{2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

解题步骤 4.6

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

解题步骤 4.7

使用极限幂法则把 $\tan^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

解题步骤 4.8

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

解题步骤 4.9

使用极限幂法则把 $\sec^{4} (x)$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{4}}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

解题步骤 4.10

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

解题步骤 4.11

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

解题步骤 4.12

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

解题步骤 4.13

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

解题步骤 4.14

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 4.15

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \frac{2 \cdot 1^{2} \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

解题步骤 6.1.2

一的任意次幂都为一。

$2 \frac{2 \cdot 1 \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

解题步骤 6.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{2 \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

解题步骤 6.1.4

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 \frac{2 \cdot 0^{2} + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

解题步骤 6.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$2 \frac{2 \cdot 0 + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

解题步骤 6.1.6

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$2 \frac{0 + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

解题步骤 6.1.7

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \frac{0 + 1^{4}}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

解题步骤 6.1.8

一的任意次幂都为一。

$2 \frac{0 + 1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

解题步骤 6.1.9

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 \frac{1}{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

解题步骤 6.2.2

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$2 \frac{1}{0 + 2 \cos (0)}$

解题步骤 6.2.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \frac{1}{0 + 2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{1}{0 + 2}$

解题步骤 6.2.5

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2 (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

约去公因数。

$2 (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.3.2

重写表达式。

$1$

微积分学 示例

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