微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{4 x}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{x}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} x - 1 \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1 \cdot 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1 \cdot 1) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.8

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.8.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.8.1.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.8.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.8.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.8.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + (x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + (x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $1 + (x - 1) \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4.3

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4.7

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

运用分配律。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.5.2

合并项。

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解题步骤 2.3.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.5.2.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.5.2.3

将 $0$ 和 $x (- \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)$ 相加。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.5.3

重新排序项。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{1}$

解题步骤 2.4

用 $- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 3.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 3.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

解题步骤 3.5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 4.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 4.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (0) + \cos (0))$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{4} (0 \cdot 0 + \sin (0) + \cos (0))$

解题步骤 5.1.2

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{4} (0 + \sin (0) + \cos (0))$

解题步骤 5.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{4} (0 + 0 + \cos (0))$

解题步骤 5.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{4} (0 + 0 + 1)$

解题步骤 5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} (0 + 1)$

解题步骤 5.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{4} \cdot 1$

解题步骤 5.4

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{4}$

小数形式：

$0.25$

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