微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2} + 2 x}$

解题步骤 1

化简极限自变量。

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解题步骤 1.1

合并项。

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解题步骤 1.1.1

要将 $\frac{1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x} - \frac{2}{x^{2} + 2 x}$

解题步骤 1.1.2

要将 $- \frac{2}{x^{2} + 2 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x} - \frac{2}{x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 1.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x (x^{2} + 2 x)$ 的形式。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{x (x^{2} + 2 x)} - \frac{2}{x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $\frac{2}{x^{2} + 2 x}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{x (x^{2} + 2 x)} - \frac{2 x}{(x^{2} + 2 x) x}$

解题步骤 1.1.3.3

重新排序 $(x^{2} + 2 x) x$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{x (x^{2} + 2 x)} - \frac{2 x}{x (x^{2} + 2 x)}$

解题步骤 1.1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x - 2 x}{x (x^{2} + 2 x)}$

解题步骤 1.1.5

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 0}{x (x^{2} + 2 x)}$

解题步骤 1.1.6

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x (x^{2} + 2 x)}$

解题步骤 1.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + 2 x)}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + 2 x)}$

解题步骤 1.2.2.2

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + 2 x}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

解题步骤 2.1.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

解题步骤 2.1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

解题步骤 2.1.3.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.3.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.3.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2} + 2 \cdot 0}$

解题步骤 2.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.5.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

解题步骤 2.1.3.5.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 2.1.3.5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.5.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 2.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.5.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

解题步骤 3.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

解题步骤 3.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

解题步骤 3.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 2}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 2}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{0 + 2}$

解题步骤 5.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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