微积分学示例

$lim_{x \to 0} | x | \cos (\frac{π}{x})$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} | x | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

解题步骤 1.2

将极限移到绝对值符号内。

$| lim_{x \to 0} x | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

解题步骤 2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$| 0 | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (\frac{π}{x})$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $\cos (\frac{π}{x})$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 1 \\ - 0.01 & 1 \\ - 0.001 & - 0.52509112 \\ - 0.0001 & 0.98390071 \\ - 0.00001 & 0.21498467 \\ - 0.000001 & - 0.11167431 \\ - 0.0000001 & 0.25336184 \\ - 0.00000001 & - 0.90154773 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $\cos (\frac{π}{x})$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{π}{x})$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 $\cos (\frac{π}{x})$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 1 \\ 0.01 & 1 \\ 0.001 & - 0.66711772 \\ 0.0001 & - 0.10775036 \\ 0.00001 & 0.87550456 \\ 0.000001 & 0.98459857 \\ 0.0000001 & - 0.99950431 \\ 0.00000001 & 0.67066438 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $\cos (\frac{π}{x})$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$| 0 | \cdot 1$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$0 \cdot 1$

解题步骤 9.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0$

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