微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x - \arctan (x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

解题步骤 1.1.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.2.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 - lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

解题步骤 1.1.3.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $\arctan (x)$ 的极限值。

$\frac{0}{0 - \arctan (0)}$

解题步骤 1.1.3.2.3

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.1.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x - \arctan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $x - \arctan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]}$

解题步骤 1.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- \arctan (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \arctan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

解题步骤 1.3.5.2

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \frac{1}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.3.6

化简。

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解题步骤 1.3.6.1

合并项。

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解题步骤 1.3.6.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.3.6.1.2

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{1 + x^{2} - 1}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.3.6.1.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2} + 0}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.3.6.1.4

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}}$

解题步骤 1.3.6.2

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} 3 x^{2} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.5

合并因数。

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解题步骤 1.5.1

组合 $3$ 和 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} x^{2} \frac{3 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

解题步骤 1.5.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{3 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (3 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

解题步骤 1.6

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (3 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

解题步骤 1.6.2

用 $3 (x^{2} + 1)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} 3 (x^{2} + 1)$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$3 (lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

解题步骤 2.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$3 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

解题步骤 2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$3 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 (0^{2} + 1)$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 (0 + 1)$

解题步骤 4.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$3 \cdot 1$

解题步骤 4.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

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