微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\sin (8 x)}$

解题步骤 1

分子和分母同时乘以 $8 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot (8 x)}{\sin (8 x) \cdot (8 x)}$

解题步骤 2

分子和分母同时乘以 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot (8 x) \cdot (2 x)}{2 x \cdot \sin (8 x) \cdot (8 x)}$

解题步骤 3

分离分数。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} \cdot \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时， $\frac{\sin (2 x)}{2 x}$ 的极限为 $1$ 。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.1.2.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 5.1.2.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.1.2.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 5.1.3.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{2 \cdot 0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.1.3.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.3.6

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.3.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \cdot 1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.3.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.4

计算极限值。

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解题步骤 5.4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.4.1.2

用 $\cos (2 x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.4.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.4.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (2 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.6

化简答案。

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解题步骤 5.6.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 5.6.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时， $\frac{8 x}{\sin (8 x)}$ 的极限为 $1$ 。

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解题步骤 6.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 6.1.1

取分子和分母极限值。

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} 8 x}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 6.1.2.1

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$1 \cdot \frac{8 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$1 \cdot \frac{8 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.1.2.3

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 6.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 6.1.3.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.1.3.1.2

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (8 lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (8 \cdot 0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 6.1.3.3.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.1.3.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 6.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 6.3.1

对分子和分母进行求导。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.3.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.3.4

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 6.3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 x$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.3.5.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.3.5.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.3.6

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{\cos (8 x) (8 \cdot 1)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.3.8

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{\cos (8 x) \cdot 8} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.3.9

将 $8$ 移到 $\cos (8 x)$ 的左侧。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{8 \cos (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.4

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

约去公因数。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{8 \cos (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.4.2

重写表达式。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.5

将 $\frac{1}{\cos (8 x)}$ 转换成 $\sec (8 x)$ 。

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (8 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.6

计算极限值。

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解题步骤 6.6.1

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} 8 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.6.2

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$1 \cdot \sec (8 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.7

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$1 \cdot \sec (8 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.8

化简答案。

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解题步骤 6.8.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 6.8.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{8 x}$

解题步骤 7

简化。

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解题步骤 7.1

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{8 x}$

解题步骤 7.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.1.2.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 (4 x)}$

解题步骤 7.1.2.2

约去公因数。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (4 x)}$

解题步骤 7.1.2.3

重写表达式。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{4 x}$

解题步骤 7.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{4 x}$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{4}$

解题步骤 8

计算 $\frac{1}{4}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 9.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{4}$

小数形式：

$0.25$

微积分学 示例

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