微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} - \frac{1}{x}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x \sqrt{1} + x) x$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(x \sqrt{1} + x) x$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x \sqrt{1} + x)} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x - (x \sqrt{1} + x)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

解题步骤 2.1.2

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x - (x \sqrt{1} + x)$ 的极限值。

$\frac{0 - (0 \sqrt{1} + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

解题步骤 2.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{0 - (0 \cdot 1 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 - (0 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

解题步骤 2.1.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

解题步骤 2.1.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + x}$

解题步骤 2.1.3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2.1.3.3

因为项 $\sqrt{1}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2.1.3.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2.1.3.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2.1.3.4.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + 0)}$

解题步骤 2.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.5.1.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{0}{0 \cdot (1 \cdot 0 + 0)}$

解题步骤 2.1.3.5.1.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{0 \cdot (0 + 0)}$

解题步骤 2.1.3.5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

解题步骤 2.1.3.5.3

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.5.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

解题步骤 2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \cdot 1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

解题步骤 2.3.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

解题步骤 2.3.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

解题步骤 2.3.4

根据加法法则， $x - (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

解题步骤 2.3.6

计算 $\frac{d}{d x} [- (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

解题步骤 2.3.6.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

解题步骤 2.3.6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

解题步骤 2.3.6.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

解题步骤 2.3.7

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

解题步骤 2.3.8

化简每一项。

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解题步骤 2.3.8.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 1 + x)]}$

解题步骤 2.3.8.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x + x)]}$

解题步骤 2.3.9

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (2 x)]}$

解题步骤 2.3.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x)]}$

解题步骤 2.3.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x^{1})]}$

解题步骤 2.3.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{1 + 1}]}$

解题步骤 2.3.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

解题步骤 2.3.14

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 (2 x)}$

解题步骤 2.3.16

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{4 x}$

解题步骤 3

因为函数从左边接近 $\infty$ ，但从右边接近 $- \infty$ ，所以极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例

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