微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

解题步骤 1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

解题步骤 1.2

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

解题步骤 2

由于 $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ 和 $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ ，使用迫近定理。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

解题步骤 3

因为项 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 4.1.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

解题步骤 4.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 4.1.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 4.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 5

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 5.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 5.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

解题步骤 7

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

解题步骤 7.1.2

将 $\frac{1}{\cos (0)}$ 转换成 $\sec (0)$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \sec (0)$

解题步骤 7.1.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

解题步骤 7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + 2}{3}$

解题步骤 7.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3}{3}$

解题步骤 7.4

用 $3$ 除以 $3$ 。

$1$

微积分学 示例

微积分学示例