微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x \csc (2 x)}{\cos (5 x)}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

解题步骤 1.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

解题步骤 1.3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (2 x)$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $x \csc (2 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ - 0.1 & 0.50334895 \\ - 0.01 & 0.50003333 \\ - 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.5$ 。因此， $x \csc (2 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0.5$ 。

$0.5$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (2 x)$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 $x \csc (2 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ 0.1 & 0.50334895 \\ 0.01 & 0.50003333 \\ 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.5$ 。因此， $x \csc (2 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0.5$ 。

$\frac{0.5}{\cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

分离分数。

$\frac{0.5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

解题步骤 9.2

将 $\frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$ 转换成 $\sec (5 \cdot 0)$ 。

$\frac{0.5}{1} \sec (5 \cdot 0)$

解题步骤 9.3

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

解题步骤 9.4

约去 $0.5$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.1

约去公因数。

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

解题步骤 9.4.2

重写表达式。

$\frac{\sec (0)}{2}$

解题步骤 9.5

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

微积分学 示例

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