微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{1}{| x |}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{| x |}{| x |}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{| x |}{| x |} - \frac{1}{| x |}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{1}{| x |}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{| x |}{| x |} - \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x | x |$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{| x |}{| x |}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{| x |}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{x}{| x | x}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $| x | x$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{x}{x | x |}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{| x | - x}{x | x |}$

解题步骤 2

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{| x | - x}{x | x |}$

解题步骤 3

当 $x$ 的值从左侧趋于 $0$ 时，函数值无限递减。

$- \infty$

解题步骤 4

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{| x | - x}{x | x |}$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数 $\frac{| x | - x}{x | x |}$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{| x | - x}{x | x |} \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & 0 \end{array}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $\frac{| x | - x}{x | x |}$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$0$

解题步骤 7

因为左极限和右极限不相等，所以极限不存在。

$不存在$

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