微积分学示例

lim x \to 0 \frac{1}{x} - \frac{1}{| x |}

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{1}{| x |}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{| x |}{| x |}

$\frac{| x |}{| x |}$ 。

lim x \to 0 \frac{1}{x} \cdot \frac{| x |}{| x |} - \frac{1}{| x |}

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{| x |}{| x |} - \frac{1}{| x |}$

解题步骤 1.2

要将

- \frac{1}{| x |}

$- \frac{1}{| x |}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ 。

lim x \to 0 \frac{1}{x} \cdot \frac{| x |}{| x |} - \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{| x |}{| x |} - \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 1.3

通过与

1

$1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母

x | x |

$x | x |$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ 乘以

\frac{| x |}{| x |}

$\frac{| x |}{| x |}$ 。

lim x \to 0 \frac{| x |}{x | x |} - \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 1.3.2

将

\frac{1}{| x |}

$\frac{1}{| x |}$ 乘以

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ 。

lim x \to 0 \frac{| x |}{x | x |} - \frac{x}{| x | x}

$lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{x}{| x | x}$

解题步骤 1.3.3

重新排序

| x | x

$| x | x$ 的因式。

lim x \to 0 \frac{| x |}{x | x |} - \frac{x}{x | x |}

$lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{x}{x | x |}$

lim x \to 0 \frac{| x |}{x | x |} - \frac{x}{x | x |}

$lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{x}{x | x |}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

lim x \to 0 \frac{| x | - x}{x | x |}

$lim_{x \to 0} \frac{| x | - x}{x | x |}$

lim x \to 0 \frac{| x | - x}{x | x |}

$lim_{x \to 0} \frac{| x | - x}{x | x |}$

解题步骤 2

考虑左极限。

lim x \to 0^{-} \frac{| x | - x}{x | x |}

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{| x | - x}{x | x |}$

解题步骤 3

当

x

$x$ 的值从左侧趋于

0

$0$ 时，函数值无限递减。

- \infty

$- \infty$

解题步骤 4

考虑右极限。

lim x \to 0^{+} \frac{| x | - x}{x | x |}

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{| x | - x}{x | x |}$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数

\frac{| x | - x}{x | x |}

$\frac{| x | - x}{x | x |}$ 在

x

$x$ 从右边趋于

0

$0$ 时的趋势。

\begin{matrix} x & \frac{| x | - x}{x | x |} 0.1 & 0 0.01 & 0 0.001 & 0 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & \frac{| x | - x}{x | x |} \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & 0 \end{array}$

解题步骤 6

当

x

$x$ 趋于

0

$0$ 时，函数值趋于

0

$0$ 。因此，

\frac{| x | - x}{x | x |}

$\frac{| x | - x}{x | x |}$ 在

x

$x$ 从右边趋于

0

$0$ 时的极限为

0

$0$ 。

0

$0$

解题步骤 7

因为左极限和右极限不相等，所以极限不存在。

$不存在$

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