微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x - \tan (x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

解题步骤 1.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

解题步骤 1.1.2.3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

解题步骤 1.1.2.4

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.4.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

解题步骤 1.1.2.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

解题步骤 1.1.3.2

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

解题步骤 1.1.3.4

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.4.1.1

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 0}$

解题步骤 1.1.3.4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x - \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

解题步骤 1.3.4.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

解题步骤 1.3.5

根据加法法则， $x - \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

解题步骤 1.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

解题步骤 1.3.7.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \sec^{2} (x)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.2.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.2.1.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.3.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

解题步骤 2.1.3.1.3

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.1.4

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (0)}$

解题步骤 2.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.3.1

将 $1$ 和 $- \sec^{2} (0)$ 重新排序。

$\frac{0}{- \sec^{2} (0) + 1}$

解题步骤 2.1.3.3.2

从 $- \sec^{2} (0)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{0}{- (\sec^{2} (0)) + 1}$

解题步骤 2.1.3.3.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{0}{- \sec^{2} (0) - 1 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.3.3.4

从 $- \sec^{2} (0) - 1 \cdot - 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{0}{- (\sec^{2} (0) - 1)}$

解题步骤 2.1.3.3.5

使用勾股恒等式。

$\frac{0}{- \tan^{2} (0)}$

解题步骤 2.1.3.3.6

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{- 0^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{- 0}$

解题步骤 2.1.3.3.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.3.9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \sec^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $1 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

解题步骤 2.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

解题步骤 2.3.4.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

解题步骤 2.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

解题步骤 2.3.4.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

解题步骤 2.3.5

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

解题步骤 2.3.6

根据加法法则， $1 - \sec^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

解题步骤 2.3.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

解题步骤 2.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.8.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sec^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

解题步骤 2.3.8.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 2.3.8.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

解题步骤 2.3.8.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

解题步骤 2.3.8.2.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

解题步骤 2.3.8.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))}$

解题步骤 2.3.8.4

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))}$

解题步骤 2.3.8.5

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))}$

解题步骤 2.3.8.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))}$

解题步骤 2.3.8.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}$

解题步骤 2.3.8.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

解题步骤 2.3.9

化简。

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解题步骤 2.3.9.1

从 $0$ 中减去 $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

解题步骤 2.3.9.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}$

解题步骤 2.3.9.3

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

解题步骤 2.3.9.4

一的任意次幂都为一。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

解题步骤 2.3.9.5

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

解题步骤 2.3.9.6

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

解题步骤 2.3.9.7

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

解题步骤 2.3.9.8

乘以 $- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 2.3.9.8.1

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.9.8.2

通过指数相加将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.3.9.8.2.1

将 $\cos (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.3.9.8.2.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.9.8.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{{\cos (x)}^{1 + 2}}}$

解题步骤 2.3.9.8.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos^{3} (x)}}$

解题步骤 2.3.9.9

将 $2$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}$

解题步骤 2.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} \sin (x) (- \frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)})$

解题步骤 2.5

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$ 。

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) \cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$

解题步骤 2.6

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) \cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$

解题步骤 2.6.2

重写表达式。

$lim_{x \to 0} - \frac{\cos^{3} (x)}{2}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (x)}{2}$

解题步骤 3.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)$

解题步骤 3.3

使用极限幂法则把 $\cos^{3} (x)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$- \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}$

解题步骤 3.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (0)$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

解题步骤 5.2

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{2}$

小数形式：

$- 0.5$

微积分学 示例

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