微积分学示例

$lim_{x \to 0} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

解题步骤 1

设置极限为左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

解题步骤 2

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 2.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ 的极限值。

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\cot (0)}$

解题步骤 2.2

将 $\cot (0)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

解题步骤 2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$

解题步骤 2.4

因为 $1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 3

设置极限为右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

解题步骤 4

计算右极限。

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解题步骤 4.1

计算极限值。

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解题步骤 4.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

解题步骤 4.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

解题步骤 4.2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 4.2.1

将 ${\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ 重写为 $e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$ 。

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$

解题步骤 4.2.2

通过将 $\cot (x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})$ 。

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$

解题步骤 4.3

因为指数 $\cot (x) \ln (\sin (4 x))$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$ 趋于 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

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