微积分学示例

lim_{x \to 0} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}

$lim_{x \to 0} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

解题步骤 1

设置极限为左极限。

lim_{x \to 0^{-}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}

$lim_{x \to 0^{-}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

解题步骤 2

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 2.1

将

0

$0$ 代入

x

$x$ 来计算

1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}

$1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ 的极限值。

1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\cot (0)}

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\cot (0)}$

解题步骤 2.2

将

\cot (0)

$\cot (0)$ 重写为正弦和余弦形式。

1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

解题步骤 2.3

\sin (0)

$\sin (0)$ 的准确值为

0

$0$ 。

1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$

解题步骤 2.4

因为

1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$ 无意义，所以极限不存在。

不存在

$不存在$

不存在

$不存在$

解题步骤 3

设置极限为右极限。

lim_{x \to 0^{+}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

解题步骤 4

计算右极限。

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解题步骤 4.1

计算极限值。

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解题步骤 4.1.1

当

x

$x$ 趋于

0

$0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

解题步骤 4.1.2

计算

1

$1$ 的极限值，当

x

$x$ 趋近于

0

$0$ 时此极限值为常数。

1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}

$1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}

$1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

解题步骤 4.2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 4.2.1

将

{\sin (4 x)}^{\cot (x)}

${\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ 重写为

e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}

$e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$ 。

1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$

解题步骤 4.2.2

通过将

\cot (x)

$\cot (x)$ 移到对数外来展开

\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})

$\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})$ 。

1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$

1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$

解题步骤 4.3

因为指数

\cot (x) \ln (\sin (4 x))

$\cot (x) \ln (\sin (4 x))$ 趋于

- \infty

$- \infty$ ，所以数量

e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}

$e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$ 趋于

0

$0$ 。

1 + 0

$1 + 0$

解题步骤 4.4

将

1

$1$ 和

0

$0$ 相加。

1

$1$

1

$1$

解题步骤 5

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

不存在

$不存在$

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